§ 59. Некоторые другие случаи неоднородного ортотропного стержня прямоугольного сечения
Кроме экспоненциальной зависимости модулей сдвига от у, можно указать еще целый ряд зависимостей и 
от у, при которых частные решения 
уравнения для функции напряжений (58.4) можно получить в явном виде, а следовательно, удовлетворить условиям на сторонах 
и тем самым найти решение задачи о кручении в явном виде.
Рис. 87.
Прежде всего нужно указать 
являющиеся степенными функциями расстояния у (см. [69] и [22]).
Пусть рис. 87 изображает поперечное сечение стержня, размеры и расположение осей; 
расстояние заданной прямой, параллельной стороне а, от оси х. Пусть далее, модули заданы в виде функций:
где 
- множители, имеющие размерность модуля сдвига (или, что то же, напряжений), 
произвольное вещественное число. При положительном и отрицательном 
характер изменения модулей вдоль стороны 
показан на рис. 87 справа. При положительном 
продолжение кривой 
проходит через точку 
отрицательном 
прямая 
является асимптотой кривой 
Введем обозначения:
Разыскивая выражение для функции 
в виде ряда (58.3), получим для 
обыкновенное уравнение, где штрихами обозначены производные по 
Частные решения однородного уравнения зависят от 
и выражаются через функции Бесселя порядка 
[11], стр. 670). Если 
не является целым числом, то
где 
функции Бесселя первого рода.
При 
целом функция 
должна быть заменена функцией Бесселя второго рода того же аргумента. В нашем случае аргумент у функций Бесселя — чисто мнимый, а поэтому они должны быть заменены модифицированными функциями. Имеем
(N не является целым числом) или
(N - целое число; 
функция Макдональда).
Частное решение 
неоднородного уравнения (59.3) найдем с помощью квадратур, зная 
и получим
Приведем частные решения однородного уравнения для нескольких случаев задания модулей.
1. Линейная зависимость
2. Обратная пропорциональность расстоянию:
3. Обратная пропорциональность квадрату расстояния:
В третьем случае частные решения выражаются через элементарные функции. Это же будет и в четвертом случае, наиболее простом в смысле выкладок и подсчетов:
4. Квадратичная зависимость от расстояния:
В этом случае получим:
Выражения для функции напряжений, удовлетворяющей условиям на контуре сечения, мы приводить не будем, так как далее нигде его не используем и жесткости и напряжений для данного случая не вычисляем.
Задача о кручении легко решается и в тех случаях, когда модули сдвига пропорциональны различным, а не одинаковым степеням сумм 
Особенно простым будет случай, когда 
любое вещественное число); функция напряжений выражается через степенные функции суммы 
Рис. 88.
Задача о кручении легко решается и в том случае, когда одна сторона сечения значительно длиннее другой (стержень с сечением в виде узкого прямоугольника). Поместив начало координат на одной из осей стержня вдали от короткой части контура (рис. 88) и рассматривая только случаи, когда главный модуль сдвига 
Для плоскостей, параллельных длинным сторонам, зависит только от у, а другой — произвольная непрерывная функция х и у, мы можем считать функцию 
зависящей только от у. Тогда, очевидно, эта функция удовлетворяет уравнению
откуда получаем самую функцию 
с двумя произвольными постоянными, выражение которой запишем следующим образом:
Здесь обозначено:
Постоянные 
определим, требуя, чтобы функция напряжений была равна нулю на поверхностях 
