§ 59. Некоторые другие случаи неоднородного ортотропного стержня прямоугольного сечения

Кроме экспоненциальной зависимости модулей сдвига от у, можно указать еще целый ряд зависимостей и от у, при которых частные решения уравнения для функции напряжений (58.4) можно получить в явном виде, а следовательно, удовлетворить условиям на сторонах и тем самым найти решение задачи о кручении в явном виде.

Рис. 87.

Прежде всего нужно указать являющиеся степенными функциями расстояния у (см. [69] и [22]).

Пусть рис. 87 изображает поперечное сечение стержня, размеры и расположение осей; расстояние заданной прямой, параллельной стороне а, от оси х. Пусть далее, модули заданы в виде функций:

где - множители, имеющие размерность модуля сдвига (или, что то же, напряжений), произвольное вещественное число. При положительном и отрицательном характер изменения модулей вдоль стороны показан на рис. 87 справа. При положительном продолжение кривой проходит через точку отрицательном прямая является асимптотой кривой

Введем обозначения:

Разыскивая выражение для функции в виде ряда (58.3), получим для обыкновенное уравнение, где штрихами обозначены производные по

Частные решения однородного уравнения зависят от и выражаются через функции Бесселя порядка [11], стр. 670). Если не является целым числом, то

где функции Бесселя первого рода.

При целом функция должна быть заменена функцией Бесселя второго рода того же аргумента. В нашем случае аргумент у функций Бесселя — чисто мнимый, а поэтому они должны быть заменены модифицированными функциями. Имеем

(N не является целым числом) или

(N - целое число; функция Макдональда).

Частное решение неоднородного уравнения (59.3) найдем с помощью квадратур, зная и получим

Приведем частные решения однородного уравнения для нескольких случаев задания модулей.

1. Линейная зависимость

2. Обратная пропорциональность расстоянию:

3. Обратная пропорциональность квадрату расстояния:

В третьем случае частные решения выражаются через элементарные функции. Это же будет и в четвертом случае, наиболее простом в смысле выкладок и подсчетов:

4. Квадратичная зависимость от расстояния:

В этом случае получим:

Выражения для функции напряжений, удовлетворяющей условиям на контуре сечения, мы приводить не будем, так как далее нигде его не используем и жесткости и напряжений для данного случая не вычисляем.

Задача о кручении легко решается и в тех случаях, когда модули сдвига пропорциональны различным, а не одинаковым степеням сумм

Особенно простым будет случай, когда любое вещественное число); функция напряжений выражается через степенные функции суммы

Рис. 88.

Задача о кручении легко решается и в том случае, когда одна сторона сечения значительно длиннее другой (стержень с сечением в виде узкого прямоугольника). Поместив начало координат на одной из осей стержня вдали от короткой части контура (рис. 88) и рассматривая только случаи, когда главный модуль сдвига Для плоскостей, параллельных длинным сторонам, зависит только от у, а другой — произвольная непрерывная функция х и у, мы можем считать функцию зависящей только от у. Тогда, очевидно, эта функция удовлетворяет уравнению

откуда получаем самую функцию с двумя произвольными постоянными, выражение которой запишем следующим образом:

Здесь обозначено:

Постоянные определим, требуя, чтобы функция напряжений была равна нулю на поверхностях