§ 76. Точное решение задачи о кручении кругового цилиндра

Рассмотренные в главе 6 задачи о кручении стержней все были решены приближенно: на боковой поверхности граничные условия удовлетворялись точно, а на торцах — приближенно. На торцевых поверхностях усилия не задавались, а задавались скручивающие моменты, к которым и должны были приводиться касательные усилия. Но для кругового цилиндра конечной длины, полого или сплошного, однородного или неоднородного, можно получить и точное решение (по крайней мере, для частных случаев анизотропии и неоднородности), т. е. найти напряжения, соответствующие касательным скручивающим усилиям, распределенным по торцам по заданному закону, при незагруженной или закрепленной боковой поверхности и поверхности полости (если она имеется).

Выведем это решение. Пусть дан круговой цилиндр конечной длины, вообще полый, обладающий цилиндрической анизотропией, с осью, направленной по геометрической оси. Мы будем считать цилиндр ортотропным, но неоднородным; модули сдвига его функции одной координаты расстояния от данной точки до геометрической оси. Отнесем тело к цилиндрической системе координат, примем центр одного из торцов за начало, а геометрическую ось — за ось z и обозначим через I — длину, - радиусы поперечного сечения (внешний и радиус полости). Из различных случаев нагрузки остановимся на двух: 1) оба торца нагружены одинаковыми касательными усилиями, нормальными к радиусам и заданными как функции (очевидно, такие усилия на каждом торце приводятся к скручивающим моментам, которые направлены в разные стороны и взаимно уравновешиваются); 2) один торец

Рис. 103.

закреплен неподвижно (так, что каждая точка его остается неподвижной), а другой нагружен касательными усилиями, приводящимися к скручивающему моменту, заданными как функции

В случае неоднородного ортотропного тела напряжения выражаются через функцию напряжений которая удовлетворяет уравнению второго порядка с переменными коэффициентами (переписываем (72.8) и

Укажем ход решения задачи. Разыскиваем решение уравнения (76.2), которое даст возможность удовлетворить условиям на цилиндрических поверхностях: при

в виде произведения

Подставляя (76.4) в (76.2) и разделяя переменные, получим

Отсюда получаем два уравнения (обыкновенные):

В уравнении положительная постоянная, которую можно задать произвольно, а А, — другая постоянная, которую нужно определить. Общие решения уравнений (76.6) и (76.7) имеют вид (при

При

Линейно-независимые решения для мы можем найти в явном виде, разумеется, только задавая функции

Предположим, что функции заданы, а определены. Потребуем, чтобы каждое решение (76.4) удовлетворяло условиям (76.3) на свободных поверхностях (или условию на закрепленных неподвижно). Тогда для постоянных получим систему однородных уравнений первой степени; приравнивая нулю ее определитель, получим уравнение, которому удовлетворяет Отсюда получаем собственные значения которым соответствуют собственные функции они определятся с точностью до постоянного множителя. Постоянный множитель мы можем отнести за счет или, что то же, приравнять единице. Тогда выражение для запишется в виде суммы:

где

Чтобы удовлетворить условиям на торцах, нагруженных одинаковыми усилиями, нужно эти заданные усилия представить в виде ряда

Если это удастся, то тогда из условий на торцах мы получим по два неоднородных уравнения (для каждого

которым удовлетворяют и определим функцию напряжений и сами напряжения в виде рядов.

Если цилиндр не имеет полости, т. е. является сплошным, то нужно постараться в выражениях (76.9) и (76.11) отбросить члены, которые неограниченно возрастают по мере приближения к оси.

Таким же путем решается и задача, когда на наружной поверхности и на поверхности полости задано перемещение (равное нулю) или на одной цилиндрической поверхности задано напряжение, а на другой перемещение. Разумеется, и в том, и в другом случае должно быть найдено перемещение соответствующее функции напряжений (путем интегрирования уравнений