§ 45. Распределение напряжений в круговом неоднородном цилиндре, обладающем цилиндрической анизотропией, под действием осевой силы и изгибающего момента

Решения задач, полученных в § 43 для однородного полого цилиндра, обладающего цилиндрической анизотропией, легко могут быть обобщены и на случай непрерывно-неоднородного цилиндра с анизотропией такого же типа. Эти решения получил Е. Соос [126] и [105] (см. также [71]).

Для того чтобы избежать громоздких выкладок, мы будем считать неоднородный цилиндр ортотропным, с осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью; впрочем, задача легко может быть решена и для цилиндра с какой угодно цилиндрической анизотропией и осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью, только формулы для напряжений в конечном счете получатся значительно сложнее. Предполагаем, что нагрузка распределена по торцам, причем закон распределения ее не задан, а заданы главный вектор и главный момент, к которым она приводится на каждом торце. Мы рассмотрим два основных случая.

1. Усилия на торце приводятся к силе направленной по оси (которую мы, как и раньше, принимаем за ось рис. 72).

Очевидно, распределение напряжений будет обладать симметрией вращения (если, конечно, зависят только от что мы и будем предполагать). Введем новую функцию от

Обращаясь к уравнениям § 40 и полагая в них мы получим формулы для напряжений:

и уравнения для определения составляющей перемещения можно положить равным нулю):

Здесь выражаются через технические упругие характеристики по формулам (40.2), а Исключая из (45.4), получим уравнение

Общий интеграл этого неоднородного уравнения второго порядка запишется так:

Частное решение неоднородного уравнения зависит от того, как заданы или коэффициенты Пуассона Три неизвестные постоянные входящие в состав (45.6), определятся из условий на цилиндрических поверхностях и на торцах: при

при

В частности, если коэффициенты а следовательно и пропорциональны какой-нибудь степени т. е.

то уравнение (45.5) принимает вид

где

Общий интеграл его равен

Здесь обозначено:

Подставляя выражение (45.12) в формулы (45.2), получим выражения для напряжений содержащие

три постоянные, которые все определятся из условий (45.7) и (45.8).

Окончательных выражений от мы приводить не будем. Заметим лишь, что в цилиндре, у которого (в частности, в изотропном) и только не равно нулю; в зависимости от это напряжение может распределяться по сечению неравномерно.

2. Усилия на торцах приводятся к изгибающему моменту (см. рис. 73), а на цилиндрических поверхностях усилия, так же как и объемные силы, отсутствуют; коэффициенты по-прежнему зависят только от одной переменной

В этом случае нужно исходить из уравнения (40.8).

Зафиксировав определенным образом ось х в плоскости торца, будем отсчитывать от нее полярный угол и положив разыскивать решение уравнения (40.8) в виде

Для функции получим неоднородное уравнение

Составляющие напряжения должны удовлетворять условиям на цилиндрических поверхностях:

и на торцах, где усилия должны приводиться к моменту:

при

Как и в случае осевой силы, уравнение (45.15) сводится к легко интегрируемому уравнению Эйлера — Лапласа, если все коэффициенты деформации пропорциональны одной и той же степени

Подставляя в (45.15), получаем уравнение:

где

Общий интеграл этого уравнения запишется так:

Здесь

[По формулам (40.4) и (40.5) найдем выражения для напряжений, а далее удовлетворяем условиям (45.16) и (45.17).

Постоянная не входит в состав напряжений. Постоянной соответствуют многозначные перемещения (пропорциональные функции и нужно положить Остальные три постоянные определятся из условий на боковых поверхностях и на торцах. Этими замечаниями мы и ограничимся.