Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 34. Растяжение ортотропной пластинки с круговым ядром
В виде примера рассмотрим прямоугольную ортотропную пластинку с круговым отверстием, в которое впаяно или вклеено без натяжения круговое ядро того же диаметра из другого ортотропного материала, упругого или абсолютно жесткого (недеформируемого). Предполагается, что главные направления пластинки и упругого ядра параллельны сторонам пластинки. По двум противоположным сторонам равномерно распределены нормальные усилия, приводящиеся на каждой из нагруженных сторон к растягивающей силе (рис. 60).
Рис. 60.
Для нас представляют интерес только случаи, когда модули упругости ядра не равны модулям упругости пластинки. Таких случаев может быть практически неограниченное количество и изучить их все нет никакой возможности.
Мы ограничимся исследованием только частного случая, когда коэффициенты деформации ядра вдвое больше одноименных коэффициентов пластинки
сопоставляя полученные результаты с результатами для абсолютно жесткого ядра
и для пластинки с отверстием, ничем не заполненным
конечны). Как и в ранее решенных задачах, мы будем считать упругие постоянные пластинки равными упругим постоянным березовой фанеры, а область пластинки рассматривать как бесконечную плоскость с вырезом, относя
растягивающие усилия на бесконечность. Решение задачи имеется в работах [62] и [21] (стр. 179).
При равномерном растяжении в главных направлениях напряжения в ядре равны
Определив постоянные
из уравнений
мы после элементарных преобразований получим формулы для напряжений в ядре:
Здесь
интенсивность усилий в
и
Определив напряжения в пластинке и перейдя к цилиндрическим координатам, получим после преобразований на поверхности контакта:
(см. скан)
Здесь обозначено:
определяется по формуле (32.2) (§ 32).
Если ядро абсолютно жесткое (недеформируемое), то формулы для напряжений в ортотропной пластинке мы получим, определив коэффициенты
из уравнений (33.17), где нужно положить
Напряжения на поверхности контакта определятся по прежним формулам (34.4) и (34.5), но только коэффициенты и делитель А будут выражены иначе:
Получим напряжения
на поверхности контакта:
Для сто получается более сложная формула и мы ее выписывать не будем, а укажем еще выражения для напряжений в точках пересечения линии контура отверстия и главных осей упругости
(см. рис. 60):
В таблице 16 даны численные значения всех трех напряжений на контуре отверстия в пластинке из березовой фанеры с круглым жестким ядром и с упругим ядром, у которого
[62]. Для сравнения в последнем столбце приведены значения напряжений
в фанерной пластинке с круглым отверстием, ничем не заполненным. Растяжение производится в направлении, для которого модуль Юнга наибольший.
Таблица 16 (см. скан) Напряжения на контуре отверстия в фанерной пластинке с жестким и упругим ядрами и без ядра при одностороннем растяжении
На рис. 61 показаны (в виде полярных диаграмм) графики распределения напряжения
по краю отверстия в пластинке из березовой фанеры.
Рис. 61.
Сплошная кривая — распределение напряжений в пластинке с упругим ядром
пунктирная — то же в случае абсолютно жесткого ядра. На рис. 62 — графики напряжения о для такой же пластинки. Сплошная кривая показывает
распределение напряжений в пластинке с упругим ядром, у которого
пунктирные кривые — графики напряжений в пластинке с жестким ядром и в пластинке без ядра.
Если ядро жесткое, то наибольшим из трех является напряжение
на концах диаметра, параллельного растягивающим усилиям; оно равно
Рис. 62. (см. скан)
При отсутствии ядра наибольшим является напряжение
оно равно
и получается на концах диаметра,
Приведем без вывода основные результаты для бесконечной фанерной пластинки с круговым ядром, растяги ваемой равномерно по всем направлениям нормальными усилиями — таблицу значений напряжения
на контуре (таблица 17) и графики (рис. 63).
Таблица 17 (см. скан) Напряжения на контуре отверстия в фанерной пластинке при всестороннем растяжении
Остальные две составляющие
в общей картине напряженного состояния играют второстепенную роль. Нормальное напряжение распределено по контуру жесткого ядра почти равномерно, а касательное мало (не больше