§ 34. Растяжение ортотропной пластинки с круговым ядром

В виде примера рассмотрим прямоугольную ортотропную пластинку с круговым отверстием, в которое впаяно или вклеено без натяжения круговое ядро того же диаметра из другого ортотропного материала, упругого или абсолютно жесткого (недеформируемого). Предполагается, что главные направления пластинки и упругого ядра параллельны сторонам пластинки. По двум противоположным сторонам равномерно распределены нормальные усилия, приводящиеся на каждой из нагруженных сторон к растягивающей силе (рис. 60).

Рис. 60.

Для нас представляют интерес только случаи, когда модули упругости ядра не равны модулям упругости пластинки. Таких случаев может быть практически неограниченное количество и изучить их все нет никакой возможности.

Мы ограничимся исследованием только частного случая, когда коэффициенты деформации ядра вдвое больше одноименных коэффициентов пластинки сопоставляя полученные результаты с результатами для абсолютно жесткого ядра и для пластинки с отверстием, ничем не заполненным конечны). Как и в ранее решенных задачах, мы будем считать упругие постоянные пластинки равными упругим постоянным березовой фанеры, а область пластинки рассматривать как бесконечную плоскость с вырезом, относя

растягивающие усилия на бесконечность. Решение задачи имеется в работах [62] и [21] (стр. 179).

При равномерном растяжении в главных направлениях напряжения в ядре равны

Определив постоянные из уравнений мы после элементарных преобразований получим формулы для напряжений в ядре:

Здесь интенсивность усилий в и

Определив напряжения в пластинке и перейдя к цилиндрическим координатам, получим после преобразований на поверхности контакта:

(см. скан)

Здесь обозначено:

определяется по формуле (32.2) (§ 32).

Если ядро абсолютно жесткое (недеформируемое), то формулы для напряжений в ортотропной пластинке мы получим, определив коэффициенты из уравнений (33.17), где нужно положить Напряжения на поверхности контакта определятся по прежним формулам (34.4) и (34.5), но только коэффициенты и делитель А будут выражены иначе:

Получим напряжения на поверхности контакта:

Для сто получается более сложная формула и мы ее выписывать не будем, а укажем еще выражения для напряжений в точках пересечения линии контура отверстия и главных осей упругости (см. рис. 60):

В таблице 16 даны численные значения всех трех напряжений на контуре отверстия в пластинке из березовой фанеры с круглым жестким ядром и с упругим ядром, у которого [62]. Для сравнения в последнем столбце приведены значения напряжений в фанерной пластинке с круглым отверстием, ничем не заполненным. Растяжение производится в направлении, для которого модуль Юнга наибольший.

Таблица 16 (см. скан) Напряжения на контуре отверстия в фанерной пластинке с жестким и упругим ядрами и без ядра при одностороннем растяжении

На рис. 61 показаны (в виде полярных диаграмм) графики распределения напряжения по краю отверстия в пластинке из березовой фанеры.

Рис. 61.

Сплошная кривая — распределение напряжений в пластинке с упругим ядром пунктирная — то же в случае абсолютно жесткого ядра. На рис. 62 — графики напряжения о для такой же пластинки. Сплошная кривая показывает

распределение напряжений в пластинке с упругим ядром, у которого пунктирные кривые — графики напряжений в пластинке с жестким ядром и в пластинке без ядра.

Если ядро жесткое, то наибольшим из трех является напряжение на концах диаметра, параллельного растягивающим усилиям; оно равно

Рис. 62. (см. скан)

При отсутствии ядра наибольшим является напряжение оно равно и получается на концах диаметра,

перпендикулярного к направлению растягивающих усилий. В данном частном случае упругого ядра величина наибольшего нормального напряжения находится между указанными двумя; оно равно и получается на концах диаметра, нормального к направлению усилий.

Рис. 63.

При растяжении пластинки в направлении, для которого модуль является наименьшим, качественная картина распределения напряжений не меняется; изменятся только величины напряжений в отдельных точках. В пластинке без ядра а в пластинке с упругим ядром Отсюда можно заключить, что выгоднее пластинку вырезать из листа фанеры так, чтобы растяжение производилось в направлении, для которого модуль Юнга является наименьшим. Так же просто решается задача для всех случаев, когда .

Приведем без вывода основные результаты для бесконечной фанерной пластинки с круговым ядром, растяги ваемой равномерно по всем направлениям нормальными усилиями — таблицу значений напряжения на контуре (таблица 17) и графики (рис. 63).

Таблица 17 (см. скан) Напряжения на контуре отверстия в фанерной пластинке при всестороннем растяжении

Остальные две составляющие в общей картине напряженного состояния играют второстепенную роль. Нормальное напряжение распределено по контуру жесткого ядра почти равномерно, а касательное мало (не больше