§ 73. Кручение однородного тела вращения

В случае однородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией, постоянные величины и соответствующие дифференциальные уравнения будут уравнениями с постоянными коэффициентами [22].

В общем случае будем иметь вместо (72.9) и (72.17):

В случае ортотропного тела:

Здесь введено обозначение:

В случае изотропного однородного тела Задача о кручении однородного анизотропного тела вращения с областью 5 может быть сведена к такой же задаче для изотропного тела, но с измененной областью путем простой замены переменных. Для ортотропного тела эта замена имеет вид

О том, как область получается из данной, дает представление рис. 99.

Иногда, в зависимости от упругих свойств и формы сечения, удобнее пользоваться криволинейными координатами, в частности, сферическими. Приводим основные формулы и уравнения кручения для однородного тела, обладающего сферической анизотропией, в сферических координатах.

Рис. 99.

Сферическими координатами какой-нибудь точки будут расстояние точки от начала координат или полюса, угол, образуемый радиус-вектором с осью z и угол, образуемый проекцией радиус-вектора на плоскость ху с полярной осью х (рис. 100). Между сферическими и цилиндрическими координатами имеется связь:

Рис. 100.

Единственную не равную нулю компоненту перемещения обозначим по-прежнему через

В уравнения войдут напряжения на площадках, нормальных к координатным направлениям не равны нулю только две

составляющие Принимая это во внимание, выпишем выражения для составляющих деформаций и уравнение равновесия сплошной среды, взятые из книги А. Лява [24] (стр. 68, 102):

Обобщенный закон Гука для сферически-анизотропного ортотропного тела представится уравнениями

Подставляя эти выражения в (73.9), получим уравнение для

Здесь через обозначено отношение модулей сдвига:

Уравнение дляяр приводить не будем; оно далее не используется.