§ 73. Кручение однородного тела вращения
В случае однородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией, постоянные величины и соответствующие дифференциальные уравнения будут уравнениями с постоянными коэффициентами [22].
В общем случае будем иметь вместо (72.9) и (72.17):
В случае ортотропного тела:
Здесь введено обозначение:
В случае изотропного однородного тела Задача о кручении однородного анизотропного тела вращения с областью 5 может быть сведена к такой же задаче для изотропного тела, но с измененной областью путем простой замены переменных. Для ортотропного тела эта замена имеет вид
О том, как область получается из данной, дает представление рис. 99.
Иногда, в зависимости от упругих свойств и формы сечения, удобнее пользоваться криволинейными координатами, в частности, сферическими. Приводим основные формулы и уравнения кручения для однородного тела, обладающего сферической анизотропией, в сферических координатах.
Рис. 99.
Сферическими координатами какой-нибудь точки будут расстояние точки от начала координат или полюса, угол, образуемый радиус-вектором с осью z и угол, образуемый проекцией радиус-вектора на плоскость ху с полярной осью х (рис. 100). Между сферическими и цилиндрическими координатами имеется связь:
Рис. 100.
Единственную не равную нулю компоненту перемещения обозначим по-прежнему через
В уравнения войдут напряжения на площадках, нормальных к координатным направлениям не равны нулю только две
составляющие Принимая это во внимание, выпишем выражения для составляющих деформаций и уравнение равновесия сплошной среды, взятые из книги А. Лява [24] (стр. 68, 102):
Обобщенный закон Гука для сферически-анизотропного ортотропного тела представится уравнениями
Подставляя эти выражения в (73.9), получим уравнение для
Здесь через обозначено отношение модулей сдвига:
Уравнение дляяр приводить не будем; оно далее не используется.