§ 6. Преобразование упругих постоянных при повороте координатной системы

Рассмотрим частный случай, когда новая система координат х, у, z получена из старой х, у, z путем поворота на некоторый угол вокруг общей оси (рис. 4). Во все формулы преобразования упругих постоянных войдут косинусы которые в данном случае задаются таблицей 4.

Рис. 4.

1. Преобразование коэффициентов деформации

Пусть тело обладает анизотропией общего вида (21 или, точнее, 18 инвариантных упругих констант). Обозначим, как и раньше, через упругие постоянные, отнесенные к старой системе координат и через а.. — постоянные, отнесенные к новой, повернутой системе х, у, z. Формулы для мы получим как частные случаи (5.5) — (5.6), только в данном случае символы должны быть взяты из таблицы 5, которую мы получим из таблицы 3, подставив в нее значения косинусов I (см. [25], стр. 84).

Напоминаем, что обозначает число или выражение, находящееся на месте пересечения строки и столбца в таблице 5.

Таблица 4 (см. скан) Косинусы

Приводим выражения упругих постоянных, полученных по формуле (5.5) с использованием данных таблицы 5, подробно, без сокращений:

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Если тело ортотропно и старые оси х, у, z являются главными осями упругости, т. е. нормальны к плоскостям упругой симметрии, то в формулах преобразования упругих констант (6.1)-(6.4) нужно положить

Очевидно,

но вообще говоря, не равны нулю.

На практике может возникнуть следующий вопрос. Пусть мы имеем какие-то основания считать тело ортотропным, но нам известны только направление одной главной оси, принятой за ось z координатной системы х, у, z и упругие постоянные для этой системы. Спрашивается: как определить направления двух других плоскостей упругой симметрии, или, что то же, угол образованный главной осью с осью Ответ на этот вопрос следует непосредственно из формул (6.1), (6.2) и (6.4): угол найдется как наименьшее по модулю решение четырех уравнений:

Уравнения (6.6) после несложных преобразований принимают такой вид:

а условие существования у них общих (т. е. одинаковых) решений запишется таким образом:

Кроме того, угол должен удовлетворять уравнениям

а следовательно, должно быть

Если хотя бы одно условие (6.9) и (6.11) не выполняется, то это значит, что тело не является ортотропным.

Существенно отметить, что, рассматривая плоскую задачу, которая подробно разбирается ниже, в главе

4, мы можем не обращать внимания на уравнения (6.10) просто потому, что в уравнения и формулы не входят. Уравнения (6.8) определят положение осей которые хотя, строго говоря, и не являются главными

не равны нулю), но в плоской задаче играют роль главных, так как в системе х, у, z все уравнения плоской задачи ничем не отличаются от уравнений для ортотроп-ного тела.

Рассмотрим элементарный пример. Пусть для данной системы координат х, у, z получено

Тогда четыре уравнения (6.8) и (6.10) принимают вид

Из первого уравнения находим а из второго Наименьшее по модулю удовлетворяющее обоим уравнениям, равно Тело ортотропное; две плоскости упругой симметрии наклонены к координатным под углом 45 и 135°.

Формулы упругих постоянных ортотропного тела становятся более наглядными, если ввести технические упругие постоянные Тогда вместо (6.1), (6.2) и (6.4) будем иметь

Прочие равны нулю.

Укажем некоторые инварианты для ортотропного тела, т. е. величины, не меняющиеся при повороте координатной системы вокруг общей оси

Вопросы, связанные с преобразованием упругих постоянных ортотропного тела при повороте осей координат, изучались Н. Г. Ченцовым; формулы (6.3) и (6.4) выведены в его работе [100] (обозначения Н. Г. Ченцова несколько отличаются от наших). Эти же вопросы нашли свое освещение в «Справочнике» Е. К. Ашкенази и Э. В. Ганова [6] и в книге [7].

2. Преобразование приведенных упругих постоянных Как будет показано далее, при изучении упругого равновесия анизотропного тела, ограниченного какой-нибудь цилиндрической поверхностью, нам придется иметь дело в основном не с постоянными а с их нелинейными

комбинациями:

Эти выражения названы приведенными упругими постоянными. При отыскании решений разных задач может возникнуть следующий вопрос: известны приведенные постоянные для некоторой системы координат х, у, z с осью z, параллельной образующей цилиндрической поверхности, и требуется определить эти постоянные для другой системы повернутой относительно х, у, z вокруг общей оси на угол

Укажем без вывода, что формулы преобразования приведенных постоянных мы получим из (6.1) — (6.3), заменяя на с теми же индексами, а на Таким образом, мы получим 15 формул для всех пятнадцати ввиду очевидности мы их выписывать не будем.

Если старые оси х, у, z были главными, то

вследствие чего