Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ

В этой главе рассматриваются наиболее простые случаи распределения напряжений в анизотропных телах, преимущественно в стержнях и пластинках. Формулы для составляющих напряжений и перемещения мы приводим без вывода, так как они получаются элементарным путем. Во всех случаях, рассмотренных в этой главе (а также и в последующих), принимается во внимание известный принцип Сен-Венана, позволяющий значительно упростить в ряде случаев постановку задач.

§ 12. Растяжение стержня под действием осевой силы и собственного веса

Простейшей задачей теории упругости является задача о растяжении стержня осевой силой, приложенной к концу. Эта задача была рассмотрена еще Фойгтом ([38], стр. 631) и более подробно А. Л. Рабиновичем [85]. Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень, изготовленный из однородного материала, обладающего анизотропией (прямолинейной) самого общего вида. Пусть один конец его закреплен, а к другому приложены усилия, приводящиеся к равнодействующей направленной вдоль оси стержня. Поместим начало координат в центре тяжести закрепленного сечения, ось z направим по оси стержня, а оси х и у направим произвольно (рис. 17). Обозначим через длину и площадь поперечного сечения недеформированного стержня и через - упругие

постоянные (коэффициенты деформации) из уравнений, выражающих обобщенный закон Гука, которые в этом общем случае будут иметь вид (3.8). Собственный вес пока не будем принимать во внимание.

Если допустить, что усилия по нижнему концу и реакции по верхнему концу распределены равномерно и нормальны к плоскостям крайних сечений, то составляющие напряжений и деформации, удовлетворяющие уравнениям равновесия упругого тела (11.1) и условиям на поверхности, определятся по формулам

Рис. 17.

Определяя перемещения путем интегрирования, получим

Здесь постоянные, характеризующие «жесткое» перемещение тела в пространстве, не сопровождаемое деформацией; первые три характеризуют перемещения при повороте вокруг осей координат, а вторые три — поступательные перемещения вдоль осей. Эти постоянные мы определим из условий закрепления стержня. Считая закрепленным бесконечно малый элемент на оси z около начала координат, имеем при

условия:

Удовлетворяя им, получим

Формулы (12.2) показывают, что в общем случае анизотропии стержень не только удлиняется в направлении силы и сокращается в поперечных направлениях, но еще испытывает сдвиги во всех плоскостях, параллельных координатным. Эти сдвиги характеризуются коэффициентами которые выражаются через модули Юнга или сдвига и коэффициенты взаимного влияния первого и второго рода:

Рис. 18.

Поперечные сечения остаются плоскими, но вследствие сдвигов наклоняются к линии действия силы. Стержень, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, деформируясь, станет косоугольным параллелепипедом (рис. 18). Абсолютное удлинение стержня (точнее, его оси), равно:

Если в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к оси, то

у стержня в виде прямоугольного параллелепипеда боковые грани останутся прямоугольными, а углы поперечного сечения изменятся. Наконец, если стержень является ортотропным, т. е. имеет еще плоскости упругой симметрии, параллельные оси, то удлинение не будет сопровождаться сдвигами и углы граней параллелепипеда не исказятся.

Все формулы справедливы, строго говоря, только для одного специального случая распределения усилий и реакций. Но на основании принципа Сен-Венана ими можно пользоваться и в случае усилий, приводящихся к силам распределенным по концам произвольно; нужно только исключить из рассмотрения узкие области около концов, где основная картина напряжений и деформаций будет искажена вследствие местных напряжений и деформаций, зависящих от закона распределения усилий и от способа закрепления. Это замечание относится и к другим случаям деформации стержней, а также и пластинок.

Если стержень, изображенный на рис. 17 (закрепленный в вертикальном положении), деформируется только под действием собственного веса, то мы получим ([38], § 331)

где у — удельный вес материала.

Принимая, что верхний конец закреплен так же, как и у стержня, растягиваемого силой, т. е. перемещения удовлетворяют условиям (12.4), получим

Отсюда видно, что поперечные сечения не остаются плоскими, а принимают форму поверхности второго порядка. В общем случае анизотропии ось искривляется и уравнение изогнутой оси будет

При этом центр нижнего конца перемещается не только вдоль оси но и в стороны, и проекции перемещения его

на оси координат определяются по формулам

Если же стержень закреплен так, что центр нижней поверхности остается на вертикали, то перемещение его по вертикали будет прежним (см. третью формулу (12.12)), а ось стержня примет форму кривой

Искривления оси не будет только в том случае, когда постоянные равны нулю (например, когда имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к оси).

Как показывают формулы (12.1) и (12.9), распределение напряжений в растянутом анизотропном стержне совпадает с распределением в таком же стержне из изотропного материала, т. е. не зависит от упругих свойств. Влияние анизотропии сказывается лишь на деформациях. Это относится не только к случаю растяжения, но и ко всем другим случаям, рассмотренным в настоящей главе.