§ 80. Распределение напряжений в цилиндре под действием произвольной осесимметричной нагрузки
Рассмотрим цилиндр, нагруженный по боковой поверхности произвольными осесимметричными усилиями и Примем только одно ограничение: усилия, как функции z, удовлетворяют условиям Дирихле, а следовательно, могут быть представлены рядами Фурье.
В этом случае нужно искать решение уравнения (78.17) также в виде ряда, расположенного по синусам или косинусам аргументов - Предварительно определим решение уравнения (78.17) в виде произведения:
где целое число, или в соответствующей форме с косинусом. Подставляя (80.1) в (78.17), получим для
Требуя, чтобы равнодействующая усилий на торцах была равна нулю, добавим еще условие: при
Функция при имеет особенность; следовательно, в выражении для нужно коэффициенты при положить равными нулю.
Окончательное выражение для будет
Далее определяем напряжения по формулам (78.11) и удовлетворяем граничным условиям (80.4). Получаем два уравнения для и одно уравнение для Недостающее уравнение получим из условия на торцах (80.5). Напряжение будет на торцах обращаться в нуль, что и требуется. Этими общими замечаниями мы и ограничимся.
В настоящее время известно и точное решение для кругового цилиндра, удовлетворяющее как условиям на боковой поверхности, так и на торцах. Оно было найдено А. А. Баблояном в работах [45] (частный случай) и [46] (более общий случай). Не останавливаясь на этих решениях подробно, укажем только общий ход решения задачи, рассмотренной в работе [46].
Предполагается, что на боковой поверхности сплошного цилиндра длиной 21 и с радиусом заданы усилия, представленные в виде рядов Фурье:
а на торцах — усилия, представленные рядами:
Напряжения и перемещения удовлетворяют условиям:
и, кроме того, условиям
Функции разыскиваются в виде:
(здесь и выше корни уравнения корни уравнения (79.5), предполагаемые неравными). После удовлетворения части условий постоянные оказываются выраженными через новые постоянные причем получается, что
Далее задача сводится к определению неизвестных постоянных Для них получается бесконечная система уравнений, которая, как показано в работах, является регулярной. Коэффициенты определяются однозначно, а
где находятся по формуле (79.6). Этим кратким обзором мы и ограничимся, отсылая желающих более подробно ознакомиться с вопросом к упомянутым работам А. А. Баблояна.