§ 80. Распределение напряжений в цилиндре под действием произвольной осесимметричной нагрузки

Рассмотрим цилиндр, нагруженный по боковой поверхности произвольными осесимметричными усилиями и Примем только одно ограничение: усилия, как функции z, удовлетворяют условиям Дирихле, а следовательно, могут быть представлены рядами Фурье.

В этом случае нужно искать решение уравнения (78.17) также в виде ряда, расположенного по синусам или косинусам аргументов - Предварительно определим решение уравнения (78.17) в виде произведения:

где целое число, или в соответствующей форме с косинусом. Подставляя (80.1) в (78.17), получим для

уравнение четвертого порядка

которое приводится к двум уравнениям Бесселя. Общий интеграл этого уравнения выражается через функции Бесселя и Вебера нулевого порядка аргументов вообще комплексных. Если и вещественные числа, то выражаются через модифицированные функции Бесселя и функции Макдональда. Для определенности мы будем рассматривать только случай вещественных неравных Окончательное выражение для функции имеет вид

Такой же вид имеет функция в виде произведения

Рис. 105.

Наметим ход решения следующей задачи. Дан сплошной, не имеющий полости, круговой цилиндр, нагруженный по боковой поверхности нормальными усилиями распределенными симметрично относительно среднего поперечного сечения (рис. 105). Поместим начало координат в центре среднего сечения и обозначим длину через Разложим функцию в ряд Фурье, который будет содержать только косинусы и постоянное слагаемое. Условия на боковой поверхности запишутся так: при

Требуя, чтобы равнодействующая усилий на торцах была равна нулю, добавим еще условие: при

Функция при имеет особенность; следовательно, в выражении для нужно коэффициенты при положить равными нулю.

Окончательное выражение для будет

Далее определяем напряжения по формулам (78.11) и удовлетворяем граничным условиям (80.4). Получаем два уравнения для и одно уравнение для Недостающее уравнение получим из условия на торцах (80.5). Напряжение будет на торцах обращаться в нуль, что и требуется. Этими общими замечаниями мы и ограничимся.

В настоящее время известно и точное решение для кругового цилиндра, удовлетворяющее как условиям на боковой поверхности, так и на торцах. Оно было найдено А. А. Баблояном в работах [45] (частный случай) и [46] (более общий случай). Не останавливаясь на этих решениях подробно, укажем только общий ход решения задачи, рассмотренной в работе [46].

Предполагается, что на боковой поверхности сплошного цилиндра длиной 21 и с радиусом заданы усилия, представленные в виде рядов Фурье:

а на торцах — усилия, представленные рядами:

Напряжения и перемещения удовлетворяют условиям:

и, кроме того, условиям

Функции разыскиваются в виде:

(здесь и выше корни уравнения корни уравнения (79.5), предполагаемые неравными). После удовлетворения части условий постоянные оказываются выраженными через новые постоянные причем получается, что

Далее задача сводится к определению неизвестных постоянных Для них получается бесконечная система уравнений, которая, как показано в работах, является регулярной. Коэффициенты определяются однозначно, а

где находятся по формуле (79.6). Этим кратким обзором мы и ограничимся, отсылая желающих более подробно ознакомиться с вопросом к упомянутым работам А. А. Баблояна.