§ 4. Основные случаи упругой симметрии

Если структура анизотропного тела обладает симметрией какого-нибудь рода, то и в упругих свойствах обнаруживается симметрия. Упругая симметрия (так ее принято называть) проявляется в том, что в каждой точке обнаруживаются симметричные направления, эквивалентные в отношении упругих свойств.

Для кристаллов связь между симметрией структуры и упругой симметрией устанавливается принципом Ф. Неймана, который можно сформулировать следующим

образом: материал в отношении своих физических свойств (в том числе упругих) обнаруживает симметрию того же рода, что и его кристаллографическая форма, или более совершенную (см. [24], стр. 167). Принцип распространяется и на тела, не являющиеся кристаллами, но обладающие симметрией структуры (древесина, фанера, стеклопластики).

Если анизотропное тело обладает симметрией упругих свойств (упругой симметрией), то уравнения обобщенного закона Гука для него упрощаются, так как некоторые из коэффициентов оказываются равными нулю, тогда как между другими появляются линейные зависимости. Эти упрощения можно вывести, применяя следующий метод. Отнесем тело к системе координат х, у, z, а затем ко второй — симметричной с первой, в соответствии с тем видом симметрии, какая наблюдается в теле. Направления осей одинакового наименования будут направлениями, эквивалентными в отношении упругих свойств, а поэтому уравнения обобщенного закона Гука для симметричных систем координат запишутся одинаково. Записав эти уравнения в системе х, у, z и в системе далее переходим к одной из них, выражая, скажем, через Сравнивая получившиеся одноименные уравнения, мы находим зависимости между или Вместо уравнений обобщенного закона Гука можно взять выражение упругого потенциала, записанное в основной системе х, у, z и симметричной Переходя во втором выражении к системе х, у, z и приравнивая упругие потенциалы, приходим к тем же результатам.

Не останавливаясь на выводе, который можно найти, например в книге Лява [24], в гл. 6, приведем уравнения обобщенного закона Гука и схемы выражений упругого потенциала в виде треугольных матриц, соответствующих формуле для У, выраженной через напряжения. Сначала рассмотрим однородные тела, а затем сделаем несколько замечаний по поводу неоднородных тел.

Важнейшими являются четыре случая упругой симметрии, которые мы и разберем.

1. Плоскость упругой симметрии. Предположим, что через каждую точку тела проходит плоскость, обладающая следующим свойством: любые два направления,

симметричные по отношению к этой плоскости, являются эквивалентными в отношении упругих свойств. Будем называть направление, нормальное к плоскости упругой симметрии, — главным направлением упругости (или просто главным направлением, если одновременно не рассматриваются другие главные направления — тензоров напряжений и деформаций). В данном случае через точку тела проходит лишь одно главное направление.

Направляя ось нормально к плоскости упругой симметрии, а две другие в этой плоскости, заключаем, что восемь упругих постоянных должны быть равны нулю:

и число упругих постоянных сведется к 13. Уравнения обобщенного закона Гука будут иметь такой вид:

Схема выражения упругого потенциала (половины на диагонали, соответствующие членам отброшены):

Решив уравнения (4.1) относительно мы получим уравнения, отличающиеся от (4.1) только заменой на соответствующие у и на При произвольных направлениях осей эти уравнения содержат 13 ничем явно

не связанных коэффициентов деформации Тем не менее независимых постоянных в (4.1) и (4.2) не 13, а 12, и, зная мы имеем принципиальную возможность найти их (§ 3).

Рассмотрим элемент тела в виде прямоугольного параллелепипеда, у которого две пары граней направлены произвольно, а плоскости остальных двух являются плоскостями упругой симметрии. Пусть по этим двум граням распределены равномерно нормальные усилия, равносильные напряжениям (рис. 2). Из уравнений (4.1) находим составляющие деформации:

Отсюда видно, что при растяжении — сжатии в направлении, перпендикулярном к плоскости упругой симметрии, углы между отрезками, нормальными к плоскости упругой симметрии и лежащими в ней, остаются прямыми. Прямоугольный параллелепипед переходит в прямой параллелепипед: боковые грани его остаются прямоугольными, а основания превращаются в параллелограммы.

Рис. 2.

2. Три плоскости упругой симметрии (ортотропное тело).

Если через каждую точку тела проходят три взаимно перпендикулярные (ортогональные) плоскости упругой симметрии, причем одноименные плоскости упругой симметрии параллельны во всех точках, то, направляя оси координат нормально к плоскостям упругой симметрии (по главным направлениям), получим, что, кроме восьми упругих постоянных предыдущегослучая, равны нулю еще четыре:

Уравнения обобщенного закона Гука и схема упругого потенциала в константах принимают следующий

Введем технические константы причем вместо буквенных индексов будем писать численные. Тогда уравнения (4.4) запишутся так:

Тело, обладающее тремя ортогональными плоскостями упругой симметрии в каждой точке (или, что то же, тремя взаимно перпендикулярными главными направлениями), называется ортогонально-анизотропным или, короче, ортотропным. Главные направления в данной точке могут быть и неравноценными, не эквивалентными. Из 12 упругих постоянных, входящих в уравнения (4.6), только девять являются независимыми, так как в силу симметрии матрицы правой части уравнений обобщенного закона Гука всегда

Оси координат, нормальные к плоскостям упругой симметрии, называют главными осями координат.

Существенно отметить, что дальнейшего сокращения числа упругих постоянных здесь уже не будет/так как

из уравнений (4.4) или из уравнений (4.6), в противоположность случаю одной плоскости упругой симметрии, сами являются инвариантными константами. Иначе их называют главными константами (в отличие от констант из уравнений, записанных для произвольной системы Заметим, что элемент, изображенный на рис. 2, с гранями, параллельными плоскостям упругой симметрии, будучи растянут, останется прямоугольным параллелепипедом, только изменит свои размеры.

3. Плоскость изотропии (ось симметрии вращения).

Трансверсалъно-изотропное тело. Рассмотрим тело, обладающее следующими свойствами: через все точки проходят параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления являются упруго-эквивалентными (плоскости изотропии). Иначе говоря, в каждой точке имеется одно главное направление и бесконечное множество главных направлений в плоскости, нормальной к первому. Можно такое тело еще рассматривать как тело, через каждую точку которого проходит ось упругой симметрии бесконечно высокого порядка — ось вращения. Тело с такими свойствами называется трансверсально-изотропным стр. 172).

Направим ось z нормально к плоскости изотропии, а оси произвольно в этой плоскости. Тогда уравнения обобщенного закона Гука запишутся так:

Число независимых упругих констант равно пяти.

Введем технические константы: Е — модули Юнга для растяжения — сжатия в направлении плоскости изотропии и пормалыюм к ней, коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости, то же, при растяжении в направлении, нормальном к плоскости изотропии, модули сдвига для плоскости изотропии и любой перпендикулярной к ней.

Уравнения (4.8) перепишутся так:

В некоторых работах трансверсально-изотропный материал называется сокращенно транстропным (см., например, [6]).

4. Изотропное тело. Если в теле все направления являются упруго-эквивалентными и главными, то, полагая в (24) мы получим хорошо известные уравнения обобщенного закона Гука для изотропного тела с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона и модулем сдвига

Кроме четырех основных случаев упругой симметрии, существует еще целый ряд других. Типичными здесь являются виды симметрии монокристаллов различных элементов и соединений. Доказано, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов. Однако число классов упругой симметрии кристаллов значительно меньше (равно девяти), так как одна и та же форма уравнений обобщенного закона Гука кристаллов имеет место для нескольких случаев геометрической симметрии их (от двух до семи). Мы не будем приводить результатов исследования этого вопроса, а отошлем интересующихся к книге А. Лява [24] и к нашей книге [20], § 4, где имеются и ссылки на литературу.