§ 79. Общие выражения для напряжений и перемещений через две функции. Общий случай деформации трансверсально-изотропного тела

Кроме общего представления напряжений и перемещений с помощью одной функции удовлетворяющей уравнению четвертого порядка, можно указать и другое представление — с помощью двух функций, удовлетворяющих уравнениям второго порядка.

Общие формулы этого рода были предложены Эллиоттом в работе [115]; они использовались далее разными авторами, решавшими конкретные задачи, например, А. А. Баблояном (работы [45], [46]) и другими.

Введем в рассмотрение две функции и удовлетворяющие уравнениям

где V? — операторы (78.16). Полагая

и используя равенство убеждаемся, что уравнение (78.17) будет удовлетворено, т. е. сумма является его решением.

Приводим без вывода формулы для перемещений и напряжений (см. [115], [45], [46]):

(см. скан)

Здесь обозначено: квадраты корней уравнения

предполагаемых неравными,

упругие постоянные из уравнений обобщенного закона Гука (78.2), решенных относительно составляющих напряжений.

Заметим, что уравнение (79.5) может быть записано проще, а именно — в виде

где а, определяются по формулам (78.12). Нетрудно подменить и связь между корнями уравнений (78.22), (79.7) и параметрами

Отсюда следует, что корни могут быть вещественными или комплексными, но не могут быть чисто мнимыми, а квадраты их XI — вещественные или комплексные числа. Не исключается и случай, когда получаются чисто мнимыми (если вещественная часть равна по абсолютной величине мнимой).

В работе которую мы рассмотрим ниже, в § несколько изменяет общие формулы (79.3) и (79.4), вводя новые переменные

и потенциальные функции и вместо и Эти общие формулы [преобразованные

формулы (79.3) и (79.4)] имеют следующий вид:

(см. скан)

Функции являются гармоническими функциями переменных т. е. удовлетворяют уравнению

Преимущества общего представления (79.9), (79.10) заключаются в том, что мы имеем дело с гармоническими функциями которые и нужно определить на основании условий на поверхности. Недостаток же этого представления в том, что у функций — различные аргументы: есть функция функция .

Рассмотрим теперь трансверсально-изотропное тело, которое деформируется усилиями, вызывающими деформацию общего вида, зависящую от всех трех координат. Хайчаном и В. Новацким показано, что перемещения и напряжения можно выразить через функцию, удовлетворяющую уравнению четвертого порядка, а также через

функции, удовлетворяющие уравнению второго порядка.

Отнесем тело к декартовой системе координат, направив ось нормально к плоскостям изотропии. Приводим формулы для перемещений, взятые из работы [118]:

Здесь

А и — упругие постоянные из уравнений (4.8) или (78.2). Функции удовлетворяют уравнениям

Здесь

параметры, введенные ранее, определяемые по формулам (78.15) и (78.12), а

Составляющие напряжений мы определим из уравнений обобщенного закона Гука (4.8), подставив в них выражения для перемещений. Мы не будем их приводить.

Если пользоваться цилиндрической системой с осью направленной нормально к плоскости изотропии, то выражения для перемещений примут такой вид:

Для функций остаются верными уравнения

Выражения для напряжений через получим из уравнений (78.2). Здесь также вместо функции можно ввести две функции переменных х, у, z, или удовлетворяющие уравнениям (см. работу Эллиотта [115])

где операторы V имеют вид (79.16) и (79.19).

С помощью представлений, указанных в этом параграфе и предыдущем, решено много задач. Так, Чайчан в работе [118] исследовал изгиб конуса поперечной силой, приложенной к вершине, В. Новацкий рассмотрел напряженное состояние полупространства и тонкой плиты (работа [82]), А. А. Баблоян решил нетривиальную задачу об упругом равновесии кругового цилиндра конечной длины (работы [45], [46]) и т. д.