§ 52. Связь напряжений и перемещений с функцией усложненной комплексной переменной
Функцию напряжений, удовлетворяющую уравнению (51.4), и напряжения и перемещения можно выразить через одну функцию усложненной комплексной переменной 
комплексный потенциал. В самом деле, разыскивая решение однородного уравнения (51.4) (при 
в виде
мы заключаем, что коэффициент 
должен удовлетворять уравнению
Теорема 2, доказанная в главе 3, § 20, показывает, что при любых коэффициентах 
корни уравнения (52.2) будут чисто мнимыми или комплексными (если только 
или 
не равны нулю). Совершенно так же, только заменив 
на 
мы докажем отсутствие вещественных корней у уравнения (52.2) (если, конечно, один или оба крайние коэффициенты 
или 
не равны нулю; в противном случае корни уравнения будут вещественными).
Таким образом, во всех случаях, исключая упомянутые особые, имеем
где
комплексный параметр кручения и сопряженная величина (ср. § 49), а 
частное решение неоднородного уравнения (51.4). Составляющие напряжения и перемещение выражаются
через функцию 
следующим образом: 
Граничное условие для комплексного потенциала имеет вид
Задача о кручении анизотропного стержня с областью сечения 
сводится к такой же задаче для изотропного стержня, у которого область поперечного сечения 
получается из заданной путем аффинного преобразования
О том, как из 
получается 
дает представление рис. 25 для случая плоской задачи, где приходится иметь дело с двумя преобразованными областями 
(а в случае обобщенной плоской деформации и кручения — даже с тремя — 
Решив уравнения (52.8) относительно 
получим:
Если контур сечения 
анизотропного стержня задан уравнением 
то задача сводится к задаче о кручении изотропного стержня, контур сечения которого задан уравнением
Остановимся коротко на случае ортотропного стержня. Направляя оси х и у нормально к плоскостям упругой симметрии, запишем уравнения обобщенного закона Гука так:
модули сдвига для плоскостей 
Подставляя значения коэффициентов 
в уравнение (51.4) и вводя обозначение
получим вместо (51.4)
Задачу о кручении ортотропного стержня легко свести к задаче для изотропного стержня несколькрши способами, вводя в (52.13) замену переменных. Одна из замен такова:
Другие замены указаны в работах Сен-Венана [121], 
Лейбензона [17, 19], А. 
Локшина [75] и в книге Лява [24].
