Главная > Теория упругости анизотропного тела
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 85. Распределение напряжений вблизи эллипсоидального и сферического включения или полости при одностороннем и всестороннем растяжении

Как известно задача о распределении напряжений в анизотропном теле вблизи цилиндрического выреза эллиптического или кругового сечения решена сравнительно простым методом, с помощью конформного отображения и рядов. Получено решение для тела, находящегося в условиях обобщенной плоской деформации и плоской задачи, для нагрузки общего вида, и доведены до конца решения частных задач. Для выреза с сечением в виде эллипса или круга найдено строгое решение, а для вырезов иной формы — приближенное, если вырез можно рассматривать, как мало отличающийся в сечении от эллиптического или кругового или в случаях, когда анизотропию можно считать слабой (см. [21], гл. 7, 8). Решено уже довольно большое число задач о кручении тела с включением или вырезом (см. [21], гл. 8, § 76).

Большой интерес представляют также задачи о распределении напряжений вблизи включений в виде эллипсоида вращения или сферы в теле, находящемся в условиях осесимметричной деформации, однако, эти задачи оказываются значительно труднее вышеупомянутых. В работе

Чена [99] с достаточной полнотой дается решение одной частной задачи этого рода и его анализ; эту работу мы вкратце и изложим.

Пусть дано тело в виде кругового цилиндра, у которого на оси имеется включение из другого материала или полость в форме эллипсоида вращения или сферы. Одна из осей эллипсоида, ось вращения, направлена по геометрической оси цилиндра; центр эллипсоида или сферы принимается за начало О цилиндрической системы координат, а ось z направляется по оси цилиндра. Тело и упругое включение являются трансверсально-изотропными и имеют плоскости изотропии, нормальные к оси цилиндра. Нагрузка задается в виде нормальных усилий (на единицу площади), распределенных равномерно по цилиндрической поверхности, и нормальных усилий (также на единицу енны х равномерно по торцам (рис. 112).

Рис. 112.

Уравнение поверхности включения имеет вид

Считаем, что размеры включения а и малы по сравнению с радиусом и длиной цилиндра; это дает основание рассматривать цилиндр как бесконечное пространство с эллипсоидальной полостью, заполненной другим материалом или пустой. Центр полости принят за начало координат; на бесконечности задается поле напряжений вида

Для построения решения используется теория осесимметричной деформации трансверсально-изотропного тела.

Все величины (напряжения, перемещения, упругие постоянные) для цилиндра (упругого пространства) обозначаются, как обычно, а для упругого включения отмечаются штрихами. Перемещения и напряжения выражаются через две потенциальные функции и формулы (79.9) и (79.10)), которые и нужно определить, учитывая, что они являются гармоническими функциями переменных удовлетворяют уравнениям

и что напряжения и перемещения удовлетворяют условиям на поверхностях контакта включения и пространства (матрицы, по терминологии Чена), а также условиям на бесконечности. Предполагается, что проскальзывание материала включения по поверхности полости в пространстве невозможно.

Условия на поверхностях контакта запишутся так:

(усилия на поверхности включения и пространства должны быть равными) и

(перемещения точек поверхностей включения и полости должны быть одинаковыми). Условия (85.4) можно записать и иначе, используя выражения для проекций усилий (см.

Условия на бесконечно большом расстоянии от центра включения запишутся следующим образом:

Весьма существенно знать характер распределения напряжений внутри упругого включения. Ссылаясь на работу Эшелби [116], Чен полагает, что там напряжения постоянны, а перемещения, следовательно, линейные

функции и z, т. е.:

В пространстве (матрице) напряжения складываются из двух частей — из напряжений в сплошном пространстве, без включения, деформируемом заданными усилиями, и из добавочных напряжений, стремящихся к нулю по мере удаления от центра включения; последние обозначаются с помощью индекса А. Таким образом,

Здесь

Далее вводится функция связанная с зависимостью:

и функции определяемые из уравнения

Здесь

корни уравнения (79.7). Кроме того, вводятся постоянные

Если положить то два уравнения (85.12) перейдут в уравнение поверхности эллипсоида (85.1) и это обстоятельство играет существенную роль при построении решения.

По Чену, функции, дающие решение рассматриваемой задачи, имеют вид:

Здесь постоянные, которые нужно определить из условий (85.5), (85.6) и условий на бесконечности и

Здесь

Далее нужно подставить значения в общие формулы для перемещений и напряжений (79.9), (79.10). Получатся довольно громоздкие формулы, которых мы приводить не будем, отсылая интересующихся к той же работе Чена [99] (стр. 162). Отметим лишь, что выражения левых частей равенств (85.6) на поверхности полости (включения) принимают очень простой вид, что и дает возможность определить все постоянные —

В случае упругого включения из условий непрерывности перемещений (85.5) получаем уравнения

а из условий непрерывности усилий (85.4) или (85.6) —

уравнения

определяются по формуле (79.6)).

Уравнения (85.18) и (85.19) дают систему, из которой определяются все четыре неизвестные постоянные.

Если включение является абсолютно жестким, недеформируемым, то нужно положить постоянные и определятся из системы

В случае сфероидальной (имеющей форму эллипсоида вращения) полости, ничем не заполненной, также нужно положить для оставшихся постоянных на основании двух условий для усилий (85.6) получим уравнения (85.19), из которых вычеркнуты слагаемые, содержащие

В работе [99] подробно рассмотрен случай сферической полости, ничем не заполненной. Для этого случая

Напряжения в пространстве у поверхности полости равны:

в точках экватора

у полюсов

В работе Чена даны две таблицы значений напряжений у экватора и у полюса сферической полости для нескольких веществ, кристаллизующихся в гексагональной системе (уравнения и формулы для них будут такими же, как и для трансверсально-изотропного тела). Рассмотрены два случая нагрузки: 1) одностороннее растяжение в направлении, нормальном к плоскостям изотропии и 2) всестороннее растяжение Приводим две таблицы, взятые из работы Чена.

Таблица 24 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при одностороннем растяжении

Таблица 25 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при всестороннем растяжении

Анализируя данные таблиц 24 и 25, мы можем отметить, что у рассмотренных материалов напряжения в общем мало отличаются от напряжений в соответствующих точках у поверхности полости, так что рассмотренные материалы можно назвать слабо-анизотропными. Разумеется, из этого отнюдь не следует, что все материалы являются слабо-анизотропными.

При одностороннем растяжении наибольшие по величине напряжения получаются на экваторе полости. При всестороннем растяжении наибольшие по величине напряжения могут получиться на экваторе, но для других материалов могут получиться и вблизи полюса (см. табл. 25).

1
Оглавление
email@scask.ru