§ 85. Распределение напряжений вблизи эллипсоидального и сферического включения или полости при одностороннем и всестороннем растяжении

Как известно задача о распределении напряжений в анизотропном теле вблизи цилиндрического выреза эллиптического или кругового сечения решена сравнительно простым методом, с помощью конформного отображения и рядов. Получено решение для тела, находящегося в условиях обобщенной плоской деформации и плоской задачи, для нагрузки общего вида, и доведены до конца решения частных задач. Для выреза с сечением в виде эллипса или круга найдено строгое решение, а для вырезов иной формы — приближенное, если вырез можно рассматривать, как мало отличающийся в сечении от эллиптического или кругового или в случаях, когда анизотропию можно считать слабой (см. [21], гл. 7, 8). Решено уже довольно большое число задач о кручении тела с включением или вырезом (см. [21], гл. 8, § 76).

Большой интерес представляют также задачи о распределении напряжений вблизи включений в виде эллипсоида вращения или сферы в теле, находящемся в условиях осесимметричной деформации, однако, эти задачи оказываются значительно труднее вышеупомянутых. В работе

Чена [99] с достаточной полнотой дается решение одной частной задачи этого рода и его анализ; эту работу мы вкратце и изложим.

Пусть дано тело в виде кругового цилиндра, у которого на оси имеется включение из другого материала или полость в форме эллипсоида вращения или сферы. Одна из осей эллипсоида, ось вращения, направлена по геометрической оси цилиндра; центр эллипсоида или сферы принимается за начало О цилиндрической системы координат, а ось z направляется по оси цилиндра. Тело и упругое включение являются трансверсально-изотропными и имеют плоскости изотропии, нормальные к оси цилиндра. Нагрузка задается в виде нормальных усилий (на единицу площади), распределенных равномерно по цилиндрической поверхности, и нормальных усилий (также на единицу енны х равномерно по торцам (рис. 112).

Рис. 112.

Уравнение поверхности включения имеет вид

Считаем, что размеры включения а и малы по сравнению с радиусом и длиной цилиндра; это дает основание рассматривать цилиндр как бесконечное пространство с эллипсоидальной полостью, заполненной другим материалом или пустой. Центр полости принят за начало координат; на бесконечности задается поле напряжений вида

Для построения решения используется теория осесимметричной деформации трансверсально-изотропного тела.

Все величины (напряжения, перемещения, упругие постоянные) для цилиндра (упругого пространства) обозначаются, как обычно, а для упругого включения отмечаются штрихами. Перемещения и напряжения выражаются через две потенциальные функции и формулы (79.9) и (79.10)), которые и нужно определить, учитывая, что они являются гармоническими функциями переменных удовлетворяют уравнениям

и что напряжения и перемещения удовлетворяют условиям на поверхностях контакта включения и пространства (матрицы, по терминологии Чена), а также условиям на бесконечности. Предполагается, что проскальзывание материала включения по поверхности полости в пространстве невозможно.

Условия на поверхностях контакта запишутся так:

(усилия на поверхности включения и пространства должны быть равными) и

(перемещения точек поверхностей включения и полости должны быть одинаковыми). Условия (85.4) можно записать и иначе, используя выражения для проекций усилий (см.

Условия на бесконечно большом расстоянии от центра включения запишутся следующим образом:

Весьма существенно знать характер распределения напряжений внутри упругого включения. Ссылаясь на работу Эшелби [116], Чен полагает, что там напряжения постоянны, а перемещения, следовательно, линейные

функции и z, т. е.:

В пространстве (матрице) напряжения складываются из двух частей — из напряжений в сплошном пространстве, без включения, деформируемом заданными усилиями, и из добавочных напряжений, стремящихся к нулю по мере удаления от центра включения; последние обозначаются с помощью индекса А. Таким образом,

Здесь

Далее вводится функция связанная с зависимостью:

и функции определяемые из уравнения

Здесь

корни уравнения (79.7). Кроме того, вводятся постоянные

Если положить то два уравнения (85.12) перейдут в уравнение поверхности эллипсоида (85.1) и это обстоятельство играет существенную роль при построении решения.

По Чену, функции, дающие решение рассматриваемой задачи, имеют вид:

Здесь постоянные, которые нужно определить из условий (85.5), (85.6) и условий на бесконечности и

Здесь

Далее нужно подставить значения в общие формулы для перемещений и напряжений (79.9), (79.10). Получатся довольно громоздкие формулы, которых мы приводить не будем, отсылая интересующихся к той же работе Чена [99] (стр. 162). Отметим лишь, что выражения левых частей равенств (85.6) на поверхности полости (включения) принимают очень простой вид, что и дает возможность определить все постоянные —

В случае упругого включения из условий непрерывности перемещений (85.5) получаем уравнения

а из условий непрерывности усилий (85.4) или (85.6) —

уравнения

определяются по формуле (79.6)).

Уравнения (85.18) и (85.19) дают систему, из которой определяются все четыре неизвестные постоянные.

Если включение является абсолютно жестким, недеформируемым, то нужно положить постоянные и определятся из системы

В случае сфероидальной (имеющей форму эллипсоида вращения) полости, ничем не заполненной, также нужно положить для оставшихся постоянных на основании двух условий для усилий (85.6) получим уравнения (85.19), из которых вычеркнуты слагаемые, содержащие

В работе [99] подробно рассмотрен случай сферической полости, ничем не заполненной. Для этого случая

Напряжения в пространстве у поверхности полости равны:

в точках экватора

у полюсов

В работе Чена даны две таблицы значений напряжений у экватора и у полюса сферической полости для нескольких веществ, кристаллизующихся в гексагональной системе (уравнения и формулы для них будут такими же, как и для трансверсально-изотропного тела). Рассмотрены два случая нагрузки: 1) одностороннее растяжение в направлении, нормальном к плоскостям изотропии и 2) всестороннее растяжение Приводим две таблицы, взятые из работы Чена.

Таблица 24 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при одностороннем растяжении

Таблица 25 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при всестороннем растяжении

Анализируя данные таблиц 24 и 25, мы можем отметить, что у рассмотренных материалов напряжения в общем мало отличаются от напряжений в соответствующих точках у поверхности полости, так что рассмотренные материалы можно назвать слабо-анизотропными. Разумеется, из этого отнюдь не следует, что все материалы являются слабо-анизотропными.

При одностороннем растяжении наибольшие по величине напряжения получаются на экваторе полости. При всестороннем растяжении наибольшие по величине напряжения могут получиться на экваторе, но для других материалов могут получиться и вблизи полюса (см. табл. 25).