Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 85. Распределение напряжений вблизи эллипсоидального и сферического включения или полости при одностороннем и всестороннем растяженииКак известно Большой интерес представляют также задачи о распределении напряжений вблизи включений в виде эллипсоида вращения или сферы в теле, находящемся в условиях осесимметричной деформации, однако, эти задачи оказываются значительно труднее вышеупомянутых. В работе Чена [99] с достаточной полнотой дается решение одной частной задачи этого рода и его анализ; эту работу мы вкратце и изложим. Пусть дано тело в виде кругового цилиндра, у которого на оси имеется включение из другого материала или полость в форме эллипсоида вращения или сферы. Одна из осей эллипсоида, ось вращения, направлена по геометрической оси цилиндра; центр эллипсоида или сферы принимается за начало О цилиндрической системы координат, а ось z направляется по оси цилиндра. Тело и упругое включение являются трансверсально-изотропными и имеют плоскости изотропии, нормальные к оси цилиндра. Нагрузка задается в виде нормальных усилий
Рис. 112. Уравнение поверхности включения имеет вид
Считаем, что размеры включения а и
Для построения решения используется теория осесимметричной деформации трансверсально-изотропного тела. Все величины (напряжения, перемещения, упругие постоянные) для цилиндра (упругого пространства) обозначаются, как обычно, а для упругого включения отмечаются штрихами. Перемещения и напряжения выражаются через две потенциальные функции
и что напряжения и перемещения удовлетворяют условиям на поверхностях контакта включения и пространства (матрицы, по терминологии Чена), а также условиям на бесконечности. Предполагается, что проскальзывание материала включения по поверхности полости в пространстве невозможно. Условия на поверхностях контакта запишутся так:
(усилия на поверхности включения и пространства должны быть равными) и
(перемещения точек поверхностей включения и полости должны быть одинаковыми). Условия (85.4) можно записать и иначе, используя выражения для проекций усилий (см.
Условия на бесконечно большом расстоянии от центра включения запишутся следующим образом:
Весьма существенно знать характер распределения напряжений внутри упругого включения. Ссылаясь на работу Эшелби [116], Чен полагает, что там напряжения постоянны, а перемещения, следовательно, линейные функции
В пространстве (матрице) напряжения складываются из двух частей — из напряжений в сплошном пространстве, без включения, деформируемом заданными усилиями, и из добавочных напряжений, стремящихся к нулю по мере удаления от центра включения; последние обозначаются с помощью индекса А. Таким образом,
Здесь
Далее вводится функция
и функции
Здесь
Если положить По Чену, функции, дающие решение рассматриваемой задачи, имеют вид:
Здесь
Здесь
Далее нужно подставить значения В случае упругого включения из условий непрерывности перемещений (85.5) получаем уравнения
а из условий непрерывности усилий (85.4) или (85.6) — уравнения
Уравнения (85.18) и (85.19) дают систему, из которой определяются все четыре неизвестные постоянные. Если включение является абсолютно жестким, недеформируемым, то нужно положить
В случае сфероидальной (имеющей форму эллипсоида вращения) полости, ничем не заполненной, также нужно положить В работе [99] подробно рассмотрен случай сферической полости, ничем не заполненной. Для этого случая
Напряжения в пространстве у поверхности полости равны: в точках экватора
у полюсов
В работе Чена даны две таблицы значений напряжений у экватора и у полюса сферической полости для нескольких веществ, кристаллизующихся в гексагональной системе (уравнения и формулы для них будут такими же, как и для трансверсально-изотропного тела). Рассмотрены два случая нагрузки: 1) одностороннее растяжение в направлении, нормальном к плоскостям изотропии Таблица 24 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при одностороннем растяжении Таблица 25 (см. скан) Напряжения у поверхности полости при всестороннем растяжении Анализируя данные таблиц 24 и 25, мы можем отметить, что у рассмотренных материалов напряжения в общем мало отличаются от напряжений в соответствующих точках у поверхности полости, так что рассмотренные материалы можно назвать слабо-анизотропными. Разумеется, из этого отнюдь не следует, что все материалы являются слабо-анизотропными. При одностороннем растяжении наибольшие по величине напряжения получаются на экваторе полости. При всестороннем растяжении наибольшие по величине напряжения могут получиться на экваторе, но для других материалов могут получиться и вблизи полюса (см. табл. 25).
|
1 |
Оглавление
|