§ 26. Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние

Предположим, что рассмотренное в предыдущем параграфе тело в виде цилиндра бесконечной длины (см. рис. 27) имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, нормальную к образующей, т. е. к оси z. В этом случае мы будем иметь дело с чистой плоской деформацией, так как всем уравнениям теории упругости можно удовлетворить, полагая и считая перемещения функциями только двух переменных х, у. Тогда и напряжения определятся по формулам

Функция удовлетворяет уравнению

Общее выражение для функции зависит от комплексных параметров корней алгебраического уравнения (см § 20). В случае неравных комплексных параметров

где произвольные аналитические функции обобщенных (усложненных) комплексных переменных

частное решение неоднородного уравнения (26.3). В случае попарно равных корней

Если

Для определения напряжений и перемещений нужно найти две функции обычной комплексной переменной решить плоскую задачу для изотропного тела, но не для области сечения а для области полученной из заданной путем аффинного преобразования (см. рис. 25). Вопрос о плоской задаче и о методах ее решения весьма подробно изучен в книге Н. И. Мусхелишвили [26]. Не останавливаясь на случае равных комплексных параметров мы в дальнейшем будем считать их неравными.

Введем комплексные потенциалы:

(буквой со штрихом обозначены производные от функций по усложненной комплексной переменной), получим общие выражения для первых производных и для составляющих напряжений и проекций перемещения при отсутствии объемных сил:

(сохранены «жесткие» смещения для плоскостей, параллельных В этих формулах

Задача сводится к определению двух комплексных потенциалов удовлетворяющих граничным условиям на контуре области поперечного сечения Граничные условия при заданных на контуре усилиях имеют такой вид:

(для внешнего контура в правых частях (26.12) нужно взять верхние знаки, для внутреннего, т. е. контура выреза, — нижние; постоянные, которые можно зафиксировать произвольно на одном из контуров, ограничивающих область). При заданных перемещениях граничные условия имеют следующий вид:

Рассматривая как функции обычных комплексных переменных , мы должны определить их в областях , находящихся в аффинном соответствии с областью поперечного сечения (см. § 21).

Условия, которым должны удовлетворять эти функции внутри области поперечного сечения или в своих областях получаются из условий более сложной задачи и достаточно подробно нами исследованы (см. § 25 или работу [56]).

Все формулы для бесконечного цилиндра можно, учитывая принцип Сен-Венана, применить к телу конечной длины с закрепленными концами. В случае свободных и ненагруженных концов осевые усилия и изгибающие моменты получающиеся на концах, можно снять, накладывая на распределение напряжений в бесконечном цилиндре элементарное распределение:

К задаче о плоской деформации очень близка задача об обобщенном плоском напряженном состоянии.

Рассмотрим упругое равновесие плоской пластинки постоянной толщины из однородного анизотропного материала, имеющей в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную срединной.

Рис. 28.

Предположим, что поверхностные усилия распределены по краю, а объемные силы — по пластинке, симметричны относительно срединной плоскости и мало меняются по толщине. Принимая срединную плоскость за координатную плоскость ху и направляя оси х, у как удобнее (рис. 28), будем рассматривать не истинные напряжения и перемещения, а средние значения по толщине напряжений и перемещений, параллельных плоскости

Для этих средних значений из уравнений (18.2), (18.3) получим уравнения, которым удовлетворяют (средним значением т. е. пренебрегаем по сравнению с Получаем такие же уравнения для средних напряжений, что и в случае плоской деформации (26.2). Функция удовлетворяет уравнению (26.3), в

котором приведенные коэффициенты деформации должны быть заменены соответствующими коэффициентами

Граничные условия не отличаются от (26.12) или (26.13), только в них комплексные параметры это корни уравнения:

Поэтому решение, найденное для какого-нибудь случая плоской деформации, будет решением и для соответствующего случая обобщенного плоского напряженного состояния. Очевидно, при замене на структура функций и формул для напряжений и перемещений не изменится; изменятся лишь коэффициенты в формулах.

Задачи о плоской деформации и об обобщенном плоском напряженном состоянии объединяются под общим названием плоская задача теории упругости.

Вопросы существования и единственности решения плоской задачи для анизотропного тела достаточно хорошо изучены. Они нашли свое освещение в работах С. Г. Михлина [80], Г. Н. Савина [87] и Д. И. Шермана [102], где плоская задача сводится к интегральным уравнениям.