§ 21. Общие формулы для составляющих напряжений и проекций перемещения; граничные условия

Введем новые функции усложненных или обобщенных комплексных переменных

производные от по z будем обозначать через

С помощью этих новых функций, которые мы назовем комплексными потенциалами, можем записать выражения для первых производных от по х и у и для

таким образом:

(см. скан)

По формулам (19.1) на основании (21.2) получаем общие выражения для составляющих напряжений:

(см. скан)

Подставляя (21.3) в уравнения (18.12) и (18.15), получим после интегрирования ([56], стр. 354—355):

(см. скан)

Здесь обозначено:

решения уравнений (18.12) и (18.15), соответствующие функциям и линейным функциям содержащие постоянные

В случае первой основной задачи, когда заданы усилия граничные условия или условия на контуре поперечного сечения принимают такой вид:

где

постоянные, которые можно зафиксировать произвольно на одном из контуров, ограничивающих область поперечного сечения; верхние знаки соответствуют внешнему контуру, нижние — контуру отверстия (выреза). В случае второй основной задачи, когда на

цилиндрической поверхности задаются перемещения

получаем граничные условия в виде

причем

Рассматриваемая задача о равновесии тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, сводится к определению комплексных потенциалов — трех функций трех различных комплексных переменных в области поперечного сечения. Эти функции должны быть такими, чтобы определяемые ими напряжения и перемещения были однозначными функциями координат х и у и непрерывными вплоть до контура. На контуре области должны удовлетворять условиям (21.8) или (21.10) (первая и вторая основные задачи). Иначе говоря, на контуре задаются три комбинации и сопряженных функций.

Функции можно рассматривать и с другой точки зрения: как функции обычных комплексных переменных

Но если стать на эту точку зрения, то комплексные потенциалы должны быть определены не в области поперечного сечения а в областях полученных из путем аффинного преобразования (21.13). Прилагаемый рис. 25 дает представление о том, как области получаются из S.

Точки на контурах областей должны быть аффинно-соответственными по отношению к данной точке А контура определяемой дугой Эти особенности математической стороны рассматриваемой задачи теории упругости затрудняют отыскание ее точного эффективного решения.

Рис. 25.

Только для некоторых, немногих областей решение удалось довести до конца, т. е. до точных формул, определяющих функции или в явном виде и дающих возможность подсчитать напряжения и перемещения. В подавляющем большинстве случаев областей пока приходится довольствоваться приближенным решением, используя тот или иной приближенный метод.