Глава 8. КРУЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Последние две главы, восьмая и девятая, посвящены исследованию упругого равновесия анизотропных тел вращения, которые деформируются под действием внешних усилий, но при этом остаются телами вращения. Такого рода деформации возможны лишь для частных случаев анизотропии и для частных случаев распределения нагрузки. Можно различить два вида напряженно-деформированного состояния, при котором тело вращения переходит в тело вращения: 1) кручение и 2) осесимметричная деформация. В данной главе мы выводим общие уравнения теории кручения тел вращения и даем решения нескольких задач, представляющих практический интерес.

§ 72. Общие уравнения теории кручения непрерывно-неоднородных тел вращения, обладающих цилиндрической анизотропией

Рассмотрим упругое тело вращения (например, стержень переменного сечения), обладающее цилиндрической анизотропией с осью анизотропии, совпадающей с осью вращения z и непрерывно-неоднородное, с упругими характеристиками зависящими только от двух координат. Для определенности будем считать, что торец закреплен неподвижно (жестко), а по другому распределены касательные усилия, приводящиеся к скручивающему моменту; по боковой поверхности распределены усилия касательные к контуру поперечного сечения и не меняющиеся вдоль этого контура. Деформируясь, тело останется телом вращения, если плоскости меридиональных сечений являются плоскостями упругой симметрии; если

это условие не выполняется, то деформированное тело, вообще говоря, уже не будет телом вращения. Отнесем тело к цилиндрической системе координат (рис. 98).

Рис. 98.

Уравнения обобщенного закона Гука для тела, имеющего в каждой точке плоскость упругой симметрии, проходящую через ось вращения z (т. е. меридиональную), имеют следующий вид:

В этих уравнениях мы можем считать коэффициенты произвольными непрерывными дифференцируемыми функциями двух переменных, остальные коэффициенты могут быть какими угодно функциями всех трех переменных так как в уравнения теории кручения не войдут.

При выводе общих уравнений мы будем исходить из тех же предположений, которые лежат в основе теории кручения однородного изотропного тела вращения. Именно, поперечные сечения не искривляются и перемещения в радиальных направлениях отсутствуют, т. е. каждое поперечное сечение поворачивается вокруг оси вращения,

не изменяя своего диаметра. Иначе говоря, будем исходить из следующих основных положений:

Тогда, очевидно

Полагая, как обычно, что уравнения (72.1) однозначно разрешимы относительно составляющих напряжений, получим

На боковой поверхности должны быть выполнены условия:

Если усилия на торцах не заданы, а известен только скручивающий момент в любом поперечном сечении на расстоянии z от свободного торца то в этом сечении должно быть выполнено условие:

тдесь наружный радиус тела на расстоянии z от Зорца радиус соосной полости, если она имеется; если же тело сплошное, без полостей, то При получим условия на торцах.

Можно указать два основных способа решения задачи о кручении, в зависимости от того, что принимается за основную функцию, определяющую напряжения и перемещения.

Способ 1. За основную функцию принимается функция напряжений которая вводится так, чтобы первое из уравнений (72.5) удовлетворялось тождественно. Положим

Исключая из остальных двух уравнений (72.5), получим уравнение, которому удовлетворяет функция напряжений:

Задача сводится к отысканию функции в области половины меридионального сечения, т. е. ограниченного осью z, двумя прямолинейными отрезками, нормальными к оси z (торцы) и образующей. Если имеется сквозная соосная полость, то половина меридионального сечения ограничена двумя прямолинейными отрезками и двумя кривыми. Условие (72.6) можно преобразовать путем интегрирования по дуге образующей, принимая во внимание, что

Получим вместо (72.6) условие

т. е. на боковой поверхности и поверхности полости (или, точнее, на их образующих) можно считать заданной с точностью до постоянной функцию напряжений. Эта функция, кроме того, должна удовлетворять условию

Условие (72.11) упрощается, если внешние усилия (и реакции) распределены только по торцам. Тогда на образующих боковой поверхности функция равна постоянной, которую в случае сплошного тела можно положить равной нулю.

Если тело является неоднородным и ортотропным, то уравнения обобщенного закона Гука (4-е и 6-е из (72.1)) запишутся так:

где модули сдвига — функции Вместо (72.9) будем иметь более простое уравнение:

Способ 2. За основную функцию принимается перемещение Решив второе и третье уравнения (72.5) тносительно получим

Здесь

Подставляя (72.15) в первое уравнение системы (72.5), получим уравнение, которому удовлетворяет перемещение

Граничные условия вытекают из уравнений (72.15) и условия (72.6); они будут сложнее, чем в случае, когда за основную функцию принимается Второй способ удобен тогда, когда на поверхности задается перемещение

В случае ортотропного тела

и уравнение (72.17) принимает вид

Если тело обладает анизотропией более общего вида, когда меридиональные плоскости не являются плоскостями упругой симметрии, то задача усложняется. В этих случаях деформацию уместно назвать не кручением, а обобщенным кручением тела вращения.