14. Всестороннее сжатие

Упругое однородное тело, ограниченное произвольной замкнутой поверхностью и не имеющее внутренних полостей, деформируется нормальными усилиями, равномерно распределенными по всей поверхности (рис. 20).

Рис. 20.

Отнесем тело к системе координат х, у, z, для которой известны упругие постоянные из уравнений обобщенного закона Гука (3.8) или (3.9). В этом случае ([38], § 281, или [85], стр. 6—8)

Здесь — давление на единицу площади, а

Объемное расширение равно

а изменение объема всего тела

где со — первоначальный объем. Очевидно, при всестороннем сжатии объем тела не может увеличиться; всегда Знак равенства имеет место для тела, абсолютно несжимаемого. Отсюда следует, что упругие постоянные всякого однородного анизотропного тела удовлетворяют условию

или

Выражая через коэффициенты Пуассона и модули Юнга, после несложных преобразований получим условие, которому удовлетворяют коэффициенты Пуассона, отнесенные к произвольной системе х, у, z ([85], стр. 7):

В частности, для изотропного тела всегда причем везде знак равенства соответствует абсолютно несжимаемому телу.

Из формул (14.1) следует, что на любой площадке с произвольно направленной нормалью касательное напряжение отсутствует, а нормальное напряжение равно по величине внешнему давлению:

Такое распределение напряжений, подобное распределению давлений в невесомой жидкости, заключенной в замкнутом сосуде, можно назвать гидростатическим.

Распределение деформаций в анизотропном теле будет более сложным. Формулы (14.2) показывают, что выделенный из тела элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, деформируясь, превращается в косоугольный параллелепипед. Но, как известно, в каждой точке сплошного тела всегда существуют такие взаимно перпендикулярные направления, углы между которыми не искажаются. Эти направления главных осей деформации х, у, z легко определить, если известны составляющие деформации, отнесенные к произвольной ортогональной системе координат .

Введем обозначения: — коэффициенты деформации, V с соответствующими индексами — коэффициенты взаимного влияния и составляющие деформации и напряжения, отнесенные к главным осям а также

Так как то Это даст нам три условия, которым должны удовлетворять коэффициенты взаимного влияния, отнесенные к главным осям деформации:

Элемент А в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям деформации (рис. 20), остается прямоугольным параллелепипедом. Легко показать, что он не изменит своего объема под действием касательных усилий приложенных к граням. Если выделить из тела этот элемент А и, освободив его грани от давлений, нагрузить их касательными усилиями, то на основании сказанного в § 13 мы получим распределение напряжений и деформаций:

Объемное расширение определится по формуле

а так как равны нулю, то и

В связи с этим рассмотрим деформацию анизотропного тела, при которой относительные удлинения по всем направлениям одинаковы, а относительные сдвиги равны нулю, т. е. для системы координат х, у, z с произвольно направленными осями:

В этом случае на гранях элемента А (рис. 20) будут действовать и нормальные и касательные напряжения:

где

(см. уравнения (2.5)).

Но, как известно, всегда существуют такие площадки, на которых будут действовать только нормальные напряжения (площадки, нормальные к главным осям напряжений).

Пусть главные оси напряжений, а составляющие напряжений и упругие постоянные, отнесенные к ним, и

Для этой системы координат имеем

Мы приходим к следующему заключению: в анизотропном теле всегда существуют три взаимно перпендикулярных направления, для которых равны нулю суммы следующих модулей упругости:

Эти направления определятся как направления главных осей напряженного состояния тела, подвергнутого деформации вида (14.15).