§ 44. Распределение напряжений в непрерывно-неоднородном полом цилиндре под действием давления

Более сложной, по сравнению с рассмотренной в § 42, будет задача об упругом равновесии непрерывно-неоднородного полого цилиндра, обладающего цилиндрической анизотропией и ортотропного, нагруженного по внутренней и наружной цилиндрическим поверхностям равномерно распределенными нормальными давлениями (на единицу площади). Мы рассмотрим плоскую деформацию полого цилиндра для частного случая, когда ось анизотропии совпадает с геометрической осью z. Цилиндр является ортотропным, а коэффициенты деформации зависят только от объемные силы отсутствуют. Схема задачи такая же, как на рис. 71. Длина цилиндра предполагается бесконечной или конечной, но торцы закрепленными.

Примем плоскость любого сечения (для стержня бесконечной длины) или плоскость торцевого сечения (для стержня конечной длины) за координатную плоскость направив ось z по оси анизотропии (геометрической оси), а полярную ось по произвольному радиусу.

Очевидно, в данном случае картина распределения напряжений будет обладать симметрией вращения, т. е. составляющие напряжений не будут зависеть от и мы получим ее, считая, что функция напряжений зависит только от

Полагая, что и обозначая через получим формулы для напряжений и уравнения для перемещения

Исключая из (44.2) функцию находим уравнение для функции

Общий интеграл этого линейного уравнения с переменными коэффициентами имеет вид

Для того чтобы найти линейно-независимые решения, нужно задать (3 как функции Постоянные определятся из граничных условий, которые в данном случае запишутся так:

Задачи данного рода, связанные с уравнением (44.3) и более сложным для неортотропного цилиндра, рассматривали Берт [105] и [126] (см. также [71] и Библиографический указатель [14]).

Проще всего решить задачу в случаях, когда коэффициенты пропорциональны какой-либо степени расстояния некоторые решения были найдены П. Н. Житковым [52] и М. М. Плотниковым [84].

Пусть коэффициенты деформации заданы таким образом:

заданные постоянные и любое постоянное вещественное число). При таких заданиях уравнение (44.3) становится элементарным:

где

Получаем общий интеграл (44.7) в виде

Здесь

Подставляя выражение (44.9) в формулы (44.1) и определяя постоянные из граничных условий (44.5),

Таблица 18 (см. скан) Значения напряжений для материала (44.12) в некоторых точках диаметра трубы

находим окончательные выражения для напряжений:

В работах [83] и [84] даны таблицы численных значений напряжений по диаметру кольца, нагруженного только по внутреннему контуру для материала, у которого

может быть различным. Указано, что эти значения получены для древесины дуба. В таблице 18 приведены численные значения напряжений, взятые из названных работ , а на рис. 74 — график распределения (То по диаметру для и 3 из [84] (с некоторыми несущественными изменениями). В названной работе даны также графики для , но мы их не приводим.

Рис. 74.