§ 65. Распределение напряжении в однородной консоли эллиптического и кругового сечения

В качестве первого примера изгиба однородной консоли рассмотрим консоль эллиптического сечения. Пусть консоль с сечением в виде эллипса с полуосями изгибается силой направленной по одной из главных осей (рис. 95). Для изотропной и ортотропной консоли решение было найдено Сен-Венаном [122]; мы рассмотрим самый общий случай однородного материала, когда число коэффициентов деформации равно Один торец закреплен, на другом, действует сила направленная по оси у. Уравнение контура сечения имеет вид:

Рис. 94.

Для построения решения воспользуемся частным решением уравнения (64.5) в виде

Выражения составляющих напряжения через функции напряжений в общем случае анизотропии имеют вид

Система уравнений для запишется так:

где коэффициенты (63,9), а отношение главных полуосей эллипса. Здесь можно заранее положить так как уравнение (64.7) тождественно удовлетворяется при

Граничные условия для будут

Этим условиям мы удовлетворим, взяв элементарные функции в виде полиномов:

Постоянные найдены из уравнений:

Решения этой элементарной системы приводить не будем,

отметим только, что в общем случае прямолинейной анизотропии все шесть составляющих напряжений не равны нулю и распределяются по площади поперечных сечений по квадратичному закону.

Для ортотропной консоли с плоскостями упругой симметрии, нормальными к оси ее и параллельными плоскостям симметрии эллиптического цилиндра, формулы упрощаются, так как Получаем

Наибольшей величины касательное напряжение достигает в центре сечения, где оно равно:

В частности, для изотропной консоли

Формул для напряжений в консоли кругового сечения мы давать не будем, так как все они получаются из приведенных выше, если положить Что касается нормальных напряжений то места, где они достигают наибольших по величине значений в случаях, когда плоскости поперечных сечений являются плоскостями упругой симметрии, находятся на заделанном торце (где наибольшее) в точках, где у имеет наибольшее по величине значение (на концах оси длиной заделанного торца).