Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 36. Радиальное распределение напряжений в непрерывно-неоднородней упругой полуплоскости
В § 29 было исследовано распределение напряжений в упругой однородной ортотропной полуплоскости под действием сосредоточенной силы, приложенной к границе, и отмечены характерные особенности этого распределения: оно является радиальным, причем (в плоскости поперечного сечения) нормальное напряжение обратно пропорционально расстоянию от точки приложения силы. Посмотрим, как обстоит дело в непрерывно-неоднородной полуплоскости.
Имеется упругое непрерывно-неоднородное полупространство, находящееся в состоянии плоской деформации под действием усилий, равномерно распределенных вдоль прямой на ограничивающей плоскости или плоскопараллельная пластинка под действием сосредоточенной силы. В том и другом случае мы будем иметь в сечении упругую полуплоскость, которую примем за координатную плоскость в данном случае удобнее направлять ось у внутрь полуплоскости, а полярный угол отсчитывать от этой оси. В точке границы, принятой за начало координат, приложена сосредоточенная сила под произвольным углом со к оси у (рис. 64). Поставим задачу
Рис. 64.
следующим образом: определим, какими функцияхми должны быть упругие характеристики, чтобы распределение напряжений было радиальным, и найдем это распределение.
Даже в такой узкой постановке вопрос оказывается достаточно объемистым в случае анизотропной среды, а поэтому мы еще более сузим задачу: рассмотрим только изотропную полуплоскость [66].
Полагая, что из трех составляющих напряжений плоской задачи только одна не равна нулю, а запишем основную систему уравнений равновесия упругого тела таким образом:
Здесь в случае обобщенного плоского напряженного состояния модуль Юнга и коэффициент Пуассона, в случае же плоской деформации
Из уравнения (36.1) получаем
где функция, которую нужно определить на основании уравнений (36.2). Исключая из них перемещения (путем дифференцирований и вычитания, см. § 23) получим окончательно уравнение:
Распределение напряжений будет радиальным, если функция и переменные упругие характеристики удовлетворяют уравнению (36.5).
полуплоскости произвольным радиусом
Если окажется чисто мнимым (так как а может быть любым вещественным числом), то в формуле (36.13) косинус и синус должны быть заменены соответствующими гиперболическими косинусом и синусом. Наконец, если или то и вместо (36.13) имеем формулу
Остановимся на случае, когда модуль меняется пропорционально какой-нибудь степени расстояния у от границы полуплоскости:
Такую зависимость мы получим, полагая в
Напряжение определится по формуле:
где
Пусть модуль меняется пропорционально расстоянию от границы на которую действует нормальная сила а материал — несжимаем . В случае обобщенного плоского напряженного состояния Окончательная формула для напряжения имеет вид:
Линии одинаковых напряжений (изобары) будут иметь каплеобразную форму (рис. 65).
Если модуль меняется обратно пропорционально расстоянию от границы и сила приложена нормально к границе, то получается совсем другая картина: напряжение определяется по формуле
а линии одинаковых напряжений будут незамкнутыми, а именно, прямыми, параллельными границе.
Рис. 65.
Содержание настоящего параграфа, где рассмотрено всего несколько случаев, дает представление о том, насколько обширна рассматриваемая область науки и насколько разнообразными могут быть распределения напряжений в непрерывно-неоднородной среде. Практически число различных случаев распределений неограниченно велико, как неограниченно велико число всевозможных заданий упругих характеристик, как функций координат. То же самое можно высказать и по поводу следующей задачи для неоднородного тела, разбираемой в § 37.
Н. А. Ростовцев дал общее решение задачи о радиальном распределении напряжений, используя методы современной математики, из которого все решения этого параграфа получаются как частные случаи. К сожалению, за недостатком места мы не можем изложить здесь эти в высшей степени интересные результаты и вынуждены отослать читателя к работе [86].