§ 36. Радиальное распределение напряжений в непрерывно-неоднородней упругой полуплоскости

В § 29 было исследовано распределение напряжений в упругой однородной ортотропной полуплоскости под действием сосредоточенной силы, приложенной к границе, и отмечены характерные особенности этого распределения: оно является радиальным, причем (в плоскости поперечного сечения) нормальное напряжение обратно пропорционально расстоянию от точки приложения силы. Посмотрим, как обстоит дело в непрерывно-неоднородной полуплоскости.

Имеется упругое непрерывно-неоднородное полупространство, находящееся в состоянии плоской деформации под действием усилий, равномерно распределенных вдоль прямой на ограничивающей плоскости или плоскопараллельная пластинка под действием сосредоточенной силы. В том и другом случае мы будем иметь в сечении упругую полуплоскость, которую примем за координатную плоскость в данном случае удобнее направлять ось у внутрь полуплоскости, а полярный угол отсчитывать от этой оси. В точке границы, принятой за начало координат, приложена сосредоточенная сила под произвольным углом со к оси у (рис. 64). Поставим задачу

Рис. 64.

следующим образом: определим, какими функцияхми должны быть упругие характеристики, чтобы распределение напряжений было радиальным, и найдем это распределение.

Даже в такой узкой постановке вопрос оказывается достаточно объемистым в случае анизотропной среды, а поэтому мы еще более сузим задачу: рассмотрим только изотропную полуплоскость [66].

Полагая, что из трех составляющих напряжений плоской задачи только одна не равна нулю, а запишем основную систему уравнений равновесия упругого тела таким образом:

Здесь в случае обобщенного плоского напряженного состояния модуль Юнга и коэффициент Пуассона, в случае же плоской деформации

Из уравнения (36.1) получаем

где функция, которую нужно определить на основании уравнений (36.2). Исключая из них перемещения (путем дифференцирований и вычитания, см. § 23) получим окончательно уравнение:

Распределение напряжений будет радиальным, если функция и переменные упругие характеристики удовлетворяют уравнению (36.5).

Рассмотрим более подробно частный случай: коэффициент Пуассона — величина постоянная, а модуль есть произведение функции полярной координаты на функцию координаты 0:

Подставляя (36.6) в уравнение (36.5) и разделяя переменные (что оказывается возможным), получим уравнения для функции переменной и для функции переменной 0:

где

а — произвольная постоянная (вещественная). Интегрируя (36.7) и (36.8), получаем

Таким образом мы находим модуль обеспечивающий радиальное распределение напряжений:

где произвольные (заданные) постоянные, не равные одновременно нулю, произвольная функция угла, но при этом выражение (36.12) только тогда имеет физический смысл, когда оно положительно. Напряжение при вещественном определится по формуле

это будет иметь место, когда подкоренное выражение (36.9) положительно. Постоянные определятся из условий равновесия полукруга, вырезанного из

полуплоскости произвольным радиусом

Если окажется чисто мнимым (так как а может быть любым вещественным числом), то в формуле (36.13) косинус и синус должны быть заменены соответствующими гиперболическими косинусом и синусом. Наконец, если или то и вместо (36.13) имеем формулу

Остановимся на случае, когда модуль меняется пропорционально какой-нибудь степени расстояния у от границы полуплоскости:

Такую зависимость мы получим, полагая в

Напряжение определится по формуле:

где

Пусть модуль меняется пропорционально расстоянию от границы на которую действует нормальная сила а материал — несжимаем . В случае обобщенного плоского напряженного состояния Окончательная формула для напряжения имеет вид:

Линии одинаковых напряжений (изобары) будут иметь каплеобразную форму (рис. 65).

Если модуль меняется обратно пропорционально расстоянию от границы и сила приложена нормально к границе, то получается совсем другая картина: напряжение определяется по формуле

а линии одинаковых напряжений будут незамкнутыми, а именно, прямыми, параллельными границе.

Рис. 65.

Содержание настоящего параграфа, где рассмотрено всего несколько случаев, дает представление о том, насколько обширна рассматриваемая область науки и насколько разнообразными могут быть распределения напряжений в непрерывно-неоднородной среде. Практически число различных случаев распределений неограниченно велико, как неограниченно велико число всевозможных заданий упругих характеристик, как функций координат. То же самое можно высказать и по поводу следующей задачи для неоднородного тела, разбираемой в § 37.

Н. А. Ростовцев дал общее решение задачи о радиальном распределении напряжений, используя методы современной математики, из которого все решения этого параграфа получаются как частные случаи. К сожалению, за недостатком места мы не можем изложить здесь эти в высшей степени интересные результаты и вынуждены отослать читателя к работе [86].