§ 35. Замечания относительно решения плоской задачи и задачи обобщенной плоской деформации для бесконечной плоскости с вырезом

Изложенные в §§ 30—34 решения задач для бесконечной плоскости с эллиптическим или круговым вырезом (пустым или заполненным) являются точными. Они получаются очень просто — методом Н. И. Мусхелишвили, основанном на применении конформного отображения и степенных рядов. Не менее просто получаются решения, если вместо степенных рядов использовать аппарат интегралов типа Коши (см. [21], гл. VI, § 37).

Гораздо сложнее решить плоскую и обобщенную плоскую задачу для бесконечной плоскости с замкнутым вырезом иной формы, не эллиптическим и не круговым.

Пока удалось получить только эффективные приближенные решения двумя путями: 1) рассматривая контур выреза, как мало отличающийся от кругового или эллиптического и 2) рассматривая тело, как слабо анизотропное. В том и в другом случае вводятся параметры, характеризующие отклонение выреза от эллиптического или кругового, либо параметры, характеризующие отклонение тела от изотропного, и функции комплексных переменных или функции напряжений разыскиваются в виде рядов, расположенных по степеням этих параметров. Таким образом, задача сводится либо к ряду задач для бесконечной плоскости с эллиптическим вырезом, либо к ряду задач для изотропной среды (в зависимости от того, какой путь избрать). В процессе решения степени или произведения параметров отбрасываются, начиная со 2-го, 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Целый ряд приближенных решений, найденных как первым путем, так и вторым, имеется в нашей книге [211 (гл. VII и VIII) и работах [61] и [63], причем приводятся результаты подсчета напряжений в важнейших точках для пластинки с заданными упругими постоянными и сопоставления величин последовательных приближений. Пока еще сходимость таких процессов математически строго не обоснована.

Легкость решения задачи для плоскости с эллиптическим или круговым вырезом объясняется тем, что три, четыре и даже сколько угодно областей — (заданную) и вспомогательные, полученные из путем аффинного преобразования, можно одновременно отобразить на внешность единичного круга, и притом так, что точкам на контурах областей и находящимся между собой в аффинном соответствии, отвечает одна и та желточка на контуре единичного круга. Таким образом, граничные значения функций удается выразить через одну переменную а. Этим же свойством обладают бесконечные области, ограниченные кривой второго порядка — параболой или гиперболой (и конечно, прямой).

Если вырез в бесконечной плоскости не является эллиптическим или круговым, то одновременное отображение областей и на внешность единичного круга при непременном соблюдении указанного условия аффинного

соответствия становится невозможным: точкам находящимся в аффинном соответствии, будут отвечать разные точки на контуре единичного круга которые могут совпасть лишь для отдельных точек контура области Это значительно усложняет задачу, так как граничные, значения в аффинно-соответственных точках не удается достаточно просто выразить через одну переменную если ищутся в виде рядов, то для коэффициентов их получатся бесконечные, достаточно сложные системы.