§ 75. Влияние сферического и сфероидального включения и полости на распределение напряжений в скрученном стержне

Как было показано раньше, в главе 4, круговое или эллиптическое включение из другого материала в пластинке, находящейся в плоском напряженном состоянии под действием заданных усилий, искажает поле напряжений. Это же явление наблюдается и в случае, когда в пластинке имеется не включение, а отверстие; вблизи отверстия получаются напряжения больше, чем в сплошной пластинке, находящейся под действием тех же усилий или, иначе, происходит концентрация напряжений. Искажение поля напряжений наблюдается и в теле, находящемся в пространственном напряженном состоянии и содержащем включения из другого материала или полости в виде тел трех измерений.

Мы рассмотрим простейшие случаи кругового цилиндра радиуса имеющего на оси вращения сферическое включение или полость и находящегося в упругом равновесии под действием скручивающих моментов приложенных к торцам. Все задачи этого рода будем решать приближенно: цилиндр рассматриваем как бесконечное упругое пространство с включением или полостью, а напряжения разыскиваем так, чтобы они точно удовлетворяли условиям на поверхности включения или

полости и стремились бы по мере удаления от них к напряжениям в цилиндре, который скручивается моментами

Простейшим будет случай анизотропного цилиндра со сферическим включением на оси, изготовленным из материала со сферической анизотропией и притом ортотропным. Центр сферы примем за начало сферической системы координат связанной с цилиндрической у которой ось направлена по геометрической оси цилиндра (см. рис. 100). Напряжения и перемещения в цилиндре будем отмечать верхним индексом (1), во включении — верхним индексом (2). Радиус включения обозначим через а, модули сдвига его, отнесенные к сферической системе координат, через и модуль сдвига цилиндра — через Найдем приближенное решение (см. [114]).

В сплошном цилиндре имеем напряжения

и перемещение и относительный угол закручивания О:

(с точностью до жесткого перемещения — вращения вокруг оси Для включения справедливы уравнения обобщенного закона Гука:

и уравнение для перемещения (см. (73.10) и (73.11))

Условия на поверхности контакта включения и полости имеют вид (для случая, когда проскальзывание по поверхностям контакта полости и ядра невозможно)

Внутри включения напряжения должны быть конечными, а по мере удаления от него перемещения должны

стремиться к перемещениям в сплошном цилиндре:

Принимая во внимание условие (75.6), будем разыскивать решение уравнения (75.4) в виде

Получим совершенно элементарную функцию:

где

Постоянную нужно отбросить, иначе напряжения в Центре включения будут иметь особенность. Следовательно,

Перемещения и напряжения в изотропном цилиндре мы получим из (75.8) — (75.9), полагая Тогда и

Постоянные определим из условий (75.5) и (75.6). Получим окончательные формулы:

Здесь использованы обозначения:

Наибольшее значение получается у поверхности включения в точках а наибольшее значение на экваторе, в точках

Решение для случая кручения цилиндра со сферической полостью мы получим из (75.17), полагая

Из последней формулы получим наибольшее значение напряжения в цилиндре

Сравнивая это выражение с (75.1), получим коэффициент концентрации напряжений в изотропном цилиндре со сферической полостью на оси, при кручении:

Из (75.16) — (75.18), полагая мы получим распределение напряжений и в изотропном цилиндре

с абсолютно жестким сферическим включением на оси:

На поверхности жесткого включения

Максимальное напряжение в цилиндре с абсолютно жестким сферическим включением получается вдвое больше, чем в таком же цилиндре со сферической полостью на оси.

Рис. 102.

С. Ч. Дас [112] решил задачу о кручении изотропного вала с включением в виде вытянутого эллипсоида вращения (рис. сферы и сплющенного эллипсоида вращения (рис. 102, б). Как частные случаи, найдены решения

для цилиндров с жесткими включениями. Подсчитаны коэффициенты концентрации, т. е. отношения наибольшего напряжения на поверхности контакта к напряжению в тех же точках цилиндра без включения для нескольких отношений полуосей и модуля сдвига включения к модулю сдвига вала. Приводим таблицу, взятую из указанной работы (таблица 23).

Таблица 23 (см. скан) Значения коэффициента концентрации напряжений в изотропном цилиндре с изотропным включением

Из этой краткой таблицы все же можно подметить, что коэффициент концентрации возрастает с возрастанием жесткости кручения, т. е. отношения и уменьшается с возрастанием отношения полуосей эллипсоида.

Задачи этого рода решены также и для некоторых частных случаев анизотропии цилиндра и включения. Перечислим некоторые из них:

С. Босе [108] и [109] (Трансверсально-изотропный вал и изотропное включение в виде сферы или эллипсоида вращения);

С. Босе [110] (Трансверсально-изотропный вал и сферическое включение из материала со сферической анизотропией);

С. К. Боумик [106], Р. Субраманиан [127] (Изотропный вал с упругим включением, обладающим криволинейной анизотропией специального вида);

П. П. Чаттаржи [111] (Трансверсально-изотропный вал с жестким сферическим включением);

С. К. Боумик [107] (Трансверсально-изотропный цилиндр, эллипсоидальное включение).

Известны и еще работы на ту же тему, но мы о них упоминать здесь не будем (см. [22]).