§ 15. Изгиб стержня моментами, приложенными к концам
Однородный стержень в виде цилиндра или призмы произвольного сечения деформируется усилиями, распределенными по концам и приводящимися к изгибающим моментам, действующим в главной плоскости 
(т. е. в плоскости, проходящей через ось стержня z и одну из главных осей инерции у поперечного сечения; рис. 21).
Рис. 21.
Обозначая через 
величину изгибающего момента и через 
длину стержня и момент инерции его сечения относительно главной оси х, получим распределение напряжений и деформаций в случае анизотропии (прямолинейной) общего вида 
§ 314):
Из уравнений (15.2) найдем путем интегрирования перемещения 
произвольные постоянные, которые войдут в полученные выражения, мы определим из условий закрепления концов. Рассмотрим два случая.
1. Консоль. Один конец стержня, 
(см. рис. 21), закреплен, другой, 
свободен. Предполагая, что закреплен неподвижно элемент на оси вблизи защемленного сечения, мы должны удовлетворить при 
условиям:
В результате получим 
азьу (
Третья формула (15.4) показывает, что поперечные сечения при изгибе вообще искривляются, принимая форму поверхностей второго порядка; искривление зависит от коэффициентов 
(или, что то же, от коэффициентов взаимного влияния 
Сечения останутся плоскими, если 
а это будет иметь место, например, в том случае, когда имеются плоскости упругой симметрии, нормальные к оси. Изогнутая ось стержня имеет форму плоской кривой (параболы):
которую при малых деформациях можно принять за дугу окружности.
Одно из основных уравнений элементарной теории изгиба, связывающее кривизну изогнутой оси с изгибающим моментом, сохраняет свою силу и для стержня с анизотропией самого общего вида, только вместо модуля Юнга 
одинакового для всех направлений в изотропной балке, будет стоять модуль 
для растяжения — сжатия в направлении оси стержня:
Наибольший по величине прогиб (на свободном конце) равен
Если коэффициент 
не равен нулю, то изгиб сопровождается закручиванием; угол закручивания на единицу длины равен
2. Балка на двух опорах. Если на концах стержня имеются шарнирные опоры (рис. 22), то перемещения должны удовлетворять при 
и при 
условиям
Рис. 22.
Этих условий недостаточно для определения всех постоянных. Потребуем, кроме того, чтобы элемент оси около одной из опор не мог вращаться, т. е. добавим к условиям
Тогда получим
В этом случае уравнение изогнутой оси
а наибольший прогиб (в середине пролета)
Формулы для кривизны изогнутой оси и угла О останутся прежними — (15.6) и (15.8).
Если на концах стержня приложены моменты, действующие в другой главной плоскости, xz, то мы получим распределение напряжений:
В этом случае
При совместном действии моментов 
закручивание вокруг оси определяется величиной
Очевидно, можно избавиться от закручивания при изгибе, если подобрать моменты так, чтобы они удовлетворяли условию
