§ 40. Плоская задача для непрерывно-неоднородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией

Все общие уравнения, выведенные для однородного тела с цилиндрической анизотропией, можно обобщить и на случай тела непрерывно-неоднородного с анизотропией такого же типа [20]. Последовательность вывода такая же, как и для однородного тела. Ввиду этого мы можем некоторые промежуточные выкладки опустить, а кроме того, ограничиться только телом с анизотропией частного вида — ортотропным.

Мы рассмотрим только случай плоской деформации, так как сходные два случая, как показано в § 39, исследуются совершенно аналогичным путем.

Пусть дано тело бесконечной длины, ограниченное произвольной цилиндрической поверхностью, обладающее цилиндрической анизотропией и притом ортотропное (ось анизотропии параллельна образующей, одна из трех плоскостей упругой симметрии нормальна в каждой точке к оси анизотропии совпадает с плоскостью поперечного сечения). Примем ось за ось , а плоскость какого-нибудь поперечного сечения — за плоскость ху или

Предположим, что действуют усилия, поверхностные и объемные, нормальные к образующей и не меняющиеся вдоль нее; последние усилия имеют потенциал

В случае ортотропного тела удобнее пользоваться техническими упругими характеристиками, которые мы обозначим, как и в § 10: модули Юнга, коэффициенты Пуассона, модули сдвига. Приведенные упругие характеристики выразятся так (см.

(прочие или равны нулю, или в формулы плоской деформации не войдут).

Приведем только окончательные результаты, полученные таким же путем, как и для однородного тела.

Перемещения определятся по тем же формулам (39.4), что и для однородного тела, а функции определятся из уравнений:

где не постоянные, как в уравнениях (39.2), а функции (так как технические характеристики функции .

Из шести напряжений два равны нулю: три выражаются через функцию напряжений:

а шестое, последнее, зависит от :

Функция напряжений удовлетворяет уравнению с переменными коэффициентами, неоднородному, если действуют объемные силы, которое мы запишем таким образом:

При заданных усилиях граничные условия имеют вид (39.8).

Если цилиндр имеет конечную длину и конечную область поперечного сечения, то, принимая во внимание принцип Сен-Венана, теорию можно считать верной для всех его частей, за исключением зон местных напряжений вблизи концов, где этим методом напряжения найти нельзя. Наконец, заметим, что мы можем получить на основании предложенной теории и приближенное решение для тела конечной длины со свободными торцами. В этом случае напряжение содержит три неизвестные постоянные:

а функция напряжений удовлетворяет уравнению (24.5), где

Постоянные определим из условий на торцах, где мы можем потребовать, чтобы главный вектор и главный момент усилий были равны нулю. Для этого нужно сначала найти напряжения а после этого определить

В случае обобщенного плоского напряженного состояния все приведенные коэффициенты (3 должны быть заменены коэффициентами Из всех записанных выше уравнений остаются только (40.3), (40.4) и (40.6).