§ 46. Осесимметричное распределение напряжений в круговом цилиндре с упругими характеристиками, меняющимися вдоль радиуса и по длине

До сих пор, рассматривая упругое равновесие полого кругового цилиндра, мы предполагали, что упругие характеристики неоднородного цилиндра (коэффициенты деформации) зависели только от одной переменной Задачи усложняются, если коэффициенты деформации зависят не только от но и от z, отсчитываемой параллельно образующей [72].

Пусть имеется упругий неоднородный круговой полый цилиндр конечной длины нагруженный по цилиндрическим поверхностям равномерно распределенными усилиями на единицу площади, а по торцам — усилиями, приводящимися к силам направленным по геометрической оси. В общем случае мы будем считать тело обладающим цилиндрической анизотропией и ортотропным, причем ось анизотропии будем считать направленной по геометрической оси.

Рис. 75.

Направления осей координат и усилий показаны на рис. 75.

Мы не будем решать задачу во всей ее широте и разрабатывать общую теорию, которая отвечала бы на вопросы: даны упругие характеристики, как заданные функции координат и внешние усилия; требуется в каждом данном случае определить напряжения. Взамен этой мы рассмотрим только обратную задачу: установить, как должны меняться упругие характеристики в зависимости от чтобы качественная картина распределения напряжений была такой же, как в однородном цилиндре функции только ) и найти эти напряжения. Ограничимся только частным случаем: будем считать, что все коэффициенты деформации являются произведениями функций только переменной на функцию только переменной z, одинаковую для всех коэффициентов:

Уравнения обобщенного закона Гука будут иметь такой вид:

Так как напряжения зависят только от (как в задаче Ляме и задаче о растяжении силой), то из первых трех уравнений следует

Уравнения (46.2) принимают вид по сокращении на

Четвертому уравнению (46.4) можно удовлетворить, только положив:

произвольное вещественное или чисто мнимое число. Значению соответствует однородное тело. Комплексным а быть не может, так как в этом случае перемещение получится комплексным, а кроме того, множитель всегда вещественная величина (если вещественные). Постоянная выражающая «жесткие» смещения вдоль оси, может быть какой угодно, если торцы не закреплены.

Дифференцируя (46.5) по z и интегрируя получившееся элементарное уравнение второго порядка, мы получим:

1) при вещественном а

2) при чисто мнимом

Здесь вещественные постоянные, которые, нако, совершенно произвольными быть не могут, так как на накладываются некоторые ограничения.

В рассматриваемом случае лучше оперировать с уравнениями обобщенного закона Гука, решенными относительно составляющих напряжений, а не наоборот; тогда все напряжения будут выражены через одну функцию для которой из уравнения равновесия сплошной среды получится уравнение третьего порядка. В самом деле, решая (46.4) относительно и выражая (из через получим:

коэффициенты, обратные которые мы получим, решая уравнения (46.4) относительно от).

Подставляя (46.12) в уравнение

получим уравнение, которому должно удовлетворять

Три произвольные постоянные, входящие в состав общего интеграла этого уравнения, полностью определятся

из условий на цилиндрических поверхностях и на торцах и тогда задача будет решена до конца. Однако, за неимением места, мы не будем исследовать ортотропного тела с произвольной ортотропией, а ограничимся лишь примером, когда неоднородное тело изотропно, причем модуль Юнга его зависит только от одной переменной z, а коэффициент Пуассона есть величина постоянная.

При вещественном а

при чисто мнимом

В этом случае связь между составляющими напряжений и осевыми перемещениями (46.12) и уравнение для перемещений (46.14) принимают следующий вид:

Здесь введены обозначения: постоянные, связанные с коэффициентом Пуассона зависимостями

Общий интеграл уравнения (46.18) выражается при а вещественном через модифицированные функции Бесселя и Ганкеля первого порядка:

При чисто мнимом будем вместо (46.20) иметь

где — функция Бесселя, функция Неймана.

По функции определим напряжения и перемещения. Три постоянные, которые войдут в выражения для перемещений, найдем из условий на боковой поверхности (точных) и на торцах (приближенных). Этими замечаниями мы в общем случае и ограничимся. Отметим только, что плоская деформация в цилиндре с модулем, меняющимся по длине, под действием усилий оказывается невозможной.

В самом деле, положив получим из а следовательно, из уравнений обобщенного закона Гука Допустив, что (при Z, не равной постоянной величине), получим противоречивый результат.