§ 29. Случай нагрузки, распределенной равномерно по прямой

Рассмотрим частный случай: нормальная нагрузка распределена равномерно по бесконечной прямой Предполагается, что полупространство однородно, но обладает анизотропией общего вида. Для того,

чтобы получить решение этой задачи, рассмотрим предварительно случай, когда нормальные усилия распределены равномерно по полосе шириной (рис. 32). В этом случае все интегралы (28.5) легко берутся и мы находим функции содержащие как параметр. Устремляя затем к нулю, получаем

Также легко получаются формулы и для полупространства, нагруженного касательными усилиями, распределенными равномерно по прямой; соответствующих выражений мы приводить не будем.

Рис. 32.

Для определения напряжений нужно функции (29.1) (или функции для касательных усилий) подставить в формулы (21.3), (21.4) и отделить вещественные части.

В случае нагрузки, распределенной равномерно по прямой (оси удобнее пользоваться цилиндрической системой координат отсчитывая координату от оси z и 0 — от продолжения оси у (рис. 32). Тогда получим формулы для случая нормальной нагрузки:

Составляющая найдется из (25.5).

Таким образом, из шести составляющих напряжений в цилиндрических координатах только три не равны нулю; для общего случая анизотропии после отделения вещественных частей получаются довольно громоздкие выражения, которые мы выписывать не будем.

Отметим, что все составляющие напряжений обратно пропорциональны расстоянию от загруженной линии (оси Точки, в которых напряжение на цилиндрической поверхности имеет наибольшую величину, находятся, вообще говоря, не на линии действия усилий а точки, где не лежат на ограничивающей плоскости.

Рассмотрим более подробно плоскую задачу (которая, как было ранее указано, имеет два варианта) для ортотропного тела. В случае плоской деформации мы имеем упругое полупространство, нагруженное усилиями, распределенными равномерно по бесконечной прямой на ограничивающей плоскости. Предполагается, что в каждой точке имеются три плоскости упругой симметрии, параллельные координатным, из которых одна параллельна ограничивающей плоскости; линия, по которой распределена нагрузка (ось нормальна ко второй плоскости упругой симметрии. В случае обобщенного плоского напряженного состояния рассматривается полубесконечная ортотропная пластинка, нагруженная по краю. В том и в другом случае область тела (на плоскости есть полуплоскость. В соответствии с этим мы будем называть исследуемое тело «упругой полуплоскостью», как это делается в случае изотропной среды (см., например, [26]).

Сначала рассмотрим действие нормальной силы приложенной к границе полуплоскости. В случае

ортотропии формулы (29.2) чрезвычайно упрощаются и, после отделения вещественной части, принимают вид:

Здесь

— величина положительная, не равная нулю при всех значениях корни уравнения

Эти корни связаны с корнями уравнения зависимостями а следовательно, могут быть только вещественными или комплексными сопряженными числами; поэтому их всегда вещественное число. В случае плоской деформации приведенные коэффициенты деформации в другом случае плоской задачи должны быть заменены соответствующими коэффициентами а. Заметим еще, что равно приведенной упругой постоянной для радиального направления

или, если рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние, то X — это величина, обратная модулю Юнга для радиального направления:

Формулы (29.3) показывают, что в упругой полуплоскости под действием нормальной силы получается распределение напряжений, которое можно назвать радиальным или лучеобразным: на всех площадках, нормальных к радиус-вектору проведенному в плоскости ху из точки приложения силы, действует напряжение, направленное по а на площадках, проходящих через радиус-вектор (и нормальных к никаких напряжений не действует.

Напряжение является главным, обратно пропорционально расстоянию а при заданном меняется

в зависимости от 0 по довольно сложному закону; напряжения равны нулю.

В случае плоской деформации имеется еще вторая составляющая напряжений — она действует на площадках, нормальных к загруженной линии (т. е. в плоскостях, параллельных и по величине равна

Точки, в которых напряжение одинаково — равно какой-то величине располагаются на кривой четвертого порядка. Уравнение семейства этих кривых имеет вид:

Все эти кривые замкнутые, симметричны относительно линии действия силы и касаются границы полуплоскости в точке приложения силы О. В случае нормальной сжимающей силы все кривые, расположенные в полуплоскости, соответствуют отрицательным и только на границе 0; в этом случае их можно назвать изобарами — линиями одинакового давления. Материал полуплоскости под действием сжимающей силы будет сжат; граница, за исключением точки приложения силы О, являющейся особой, играет роль нейтральной линии — в каждой точке (за исключением одной О) все напряжения равны нулю.

Форма линий одинаковых напряжений зависит от соотношения между приведенными или истинными коэффициентами деформации. Можно отметить три основных типа кривых.

1. Если упругие постоянные удовлетворяют условиям

или если

то кривые имеют вид овалов, у которых линия действия силы служит осью симметрии (рис. 33). Напряжение достигает наибольшего по величине значения на линии действия силы.

2. Если, кроме условий (29.10) или (29.11), выполняются условия

то кривые имеют симметричные боковые выступы и в зависимости от их длины напряжение может достигнуть наибольшего по величине значения не под силой, а на осях выступов (рис. 34).

Рис. 33.

Рис. 34.

3. Если имеет место соотношение

или

то общий характер кривых изменится и они будут иметь вид, как на рис. 35. Очевидно, напряжение достигнет наибольшей величины не под силой, а на двух симметричных лучах.

При некоторых соотношениях между постоянными кривые могут выродиться в эллипсы, у которых большая или малая ось направлены по линии действия силы. Если полуплоскость изотропна, то у нее

и мы получаем классическое решение задачи Фламана

Линии одинаковых напряжений превращаются в окружности (рис. 36).

Воспользовавшись формулами (28.8), где мы легко определим напряжения в полупространстве от касательных усилий (на единицу длины), перпендикулярных к оси z и распределенных равномерно вдоль этой оси.

Рис. 35.

Рис. 36.

Опуская элементарные промежуточные выкладки, приводим формулы для ортотропного полупространства в цилиндрических координатах:

Путем наложения решений (29.3) и (29.17) получим распределение напряжений в ортотропном пространстве или в соответствующей пластинке от силы действующей в плоскости упругой симметрии ху и образующей с осью у какой-то угол со (рис. 37):

В случае наклонной силы внутри полуплоскости проходит нейтральная линия — прямая, на которой все напряжения равны нулю. Эта прямая перпендикулярна к линии действия силы, если в противном случае она пересекает линию действия силы под острым или тупым углом (см. рис. 37).

Рис. 37.

Если полуплоскость ортотропна, но одна из плоскостей упругой симметрии пересекает границу под произвольным углом или она не является ортотропной, то решение и для этих случаев также легко получается с помощью метода Н. И. Мусхелишвили (см. (28.8)). Случай неортотропной полуплоскости был исследован Моссаковским в работе [120]. Приведем без вывода основные результаты для полупространства или пластинки, у которых в каждой точке имеются не три, а только одна плоскость упругой симметрии, параллельная Моссаковский направляет ось х по границе, а ось у внутрь области, т. е. рассматривает не «нижнюю», а «верхнюю» полуплоскость. Мы не будем менять направлений осей и расположим их так же, как в работе [120]. Пусть

— комплексные параметры — корни уравнения сопряженные величины. Введем обозначения:

(смысл этой величины такой же, как и в случае ортотропного тела — см. формулы (29.6) и (29.7); угол отсчитывается от оси

Если сила нормальна к границе, то напряжения определятся по формулам

Через область тела проходит, вообще говоря, нейтральная линия (прямая):

В случае касательной силы (направленной по границе)

Угол наклона нейтральной линии получим, приравняв числитель (29.23) нулю.

В работе [120] рассмотрен конкретный пример и построены семейства кривых одинаковых напряжений для материала со следующими значениями отношений (или

На рис. 38 даны кривые для случая нормальной силы, на рис. 39 — то же для касательной силы.

Формулы (29.21) и (29.23) показывают, что качественная картина распределения напряжений остается такой же, как и в случае ортотропной полуплоскости: распределение налряжений на площадках, нормальных плоскости ху, является «радиальным» или «лучеобразным» и единственное напряжение обратно пропорционально расстоянию от точки приложения силых). Кривые одинаковых напряжений получаются сложнее, чем для ортотропной полуплоскости и, вообще говоря, лишены какой-либо симметрии.

(кликните для просмотра скана)