§ 24. Распределение напряжений в непрерывно-неоднородном теле, обладающем цилиндрической анизотропией, зависящее от двух координат
Поставим задачу так же, как это было сделано в предыдущем параграфе, но только будем предполагать, что тело является непрерывно-неоднородным, обладает цилиндрической анизотропией и является ортотропным. Оно ограничено поверхностью какого-то цилиндра и, вообще говоря, плоскостями торцов; внутри могут быть цилиндрические полости. Ось анизотропии параллельна образующим внешней поверхности и поверхностям полостей и принимается за ось z цилиндрической системы На тело действуют усилия: поверхностные и объемные имеющие потенциал На торцах (и в поперечных сечениях) усилия приводятся к осевой силе и к моменту с тремя составляющими (рис. 26). Все упругие характеристики — и «технические» считаем непрерывными, однозначными, дифференцируемыми функциями двух координат
Уравнения обобщенного закона Гука запишутся так:
Уравнения равновесия сплошной среды и условия на боковой поверхности и на торцах не будут отличаться от уравнений и условий для однородного тела, обладающего цилиндрической анизотропией (23.2), (23.17) и (23.18) — (23.21). Поэтому мы можем не повторять вывода, а привести готовые результаты, которые сводятся к следующему:
1. Выражения для перемещений по форме не отличаются от (23.12).
2. Входящие в (23.12) функции удовлетворяют уравнениям типа (23.9) и (23.10), где
где постоянные,
а все коэффициенты кроме равны нулю.
3. Составляющие напряжений выражаются через две функции напряжений по формулам (23.14);
4. Функции напряжений и удовлетворяют двум уравнениям с переменными коэффициентами (для каждой функции — свое уравнение):
Приведенные коэффициенты выражаются через модули упругости и коэффициенты Пуассона таким образом:
5. Удовлетворив условиям на боковой поверхности, получим содержащие четыре постоянные
О, которые должны быть найдены из условий на торцах (или в поперечных сечениях) типа (23.18) — (23.21).