§ 51. Простое или чистое кручение однородного стержня
Предположим, что однородный стержень, изображенный на рис. 80, обладает прямолинейной анизотропией частного вида: в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к образующей (т. е. совпадающая с плоскостью поперечного сечения), причем усилия распределены по торцам и на каждом из них приводятся к скручивающему моменту 
В этом случае вся теория очень упрощается. Вместо системы (49.9) мы будем иметь только одно уравнение для функции 
так как функцию 
можно, принимая во внимание уравнения (49.9) и граничные условия и условия на торцах, положить равной нулю. Кроме того, 
Из шести составляющих напряжений четыре равны нулю,
а остальные связаны с функцией 
Функция 
удовлетворяет уравнению второго порядка и в развернутом виде (не сокращенно) оно запишется так:
На контуре поперечного сечения
причем в случае односвязной области сечения можно принять 
Функция 
и напряжения определятся с точностью до множителя О
Неизвестный относительный угол закручивания (крутку) найдем из условий на торцах или, что то же, из условий равновесия в плоскости поперечного сечения, из уравнения:
откуда
Здесь С — жесткость при простом или чистом кручении
Полный угол закручивания стержня длиной I равен 
Введем вместо 
новую функцию 
положив
Эту функцию, характеризующую искривление плоскости поперечного сечения, называют функцией кручения или функцией перемещения, в противоположность 
которая называется функцией напряжений при кручении.
Функция 
удовлетворяет уравнениям а 
Наконец, проекции перемещений будут иметь вид
что вытекает непосредственно из выражений (49.10) и значений (51.1).
Можно указать два основных способа решения задач о кручении. Первый способ — за неизвестную функцию берется функция напряжений при кручении. Эта функция удовлетворяет уравнению (51.4) и на контуре поперечного сечения принимает постоянное значение (в частности, равна нулю).
Второй способ — за неизвестную функцию принимается функция кручения 
Выразив через нее напряжения, получим:
Здесь
Требуя, чтобы напряжения удовлетворяли единственному уравнению равновесия сплошной среды,
получим уравнение, которому удовлетворяет 
или
Граничное условие получим из равенства
Оно будет для функции 
сложнее, чем для 
а поэтому второй способ менее удобен для решения конкретных задач, чем первый. Во всех случаях мы будем предпочитать первый способ.
