§ 51. Простое или чистое кручение однородного стержня

Предположим, что однородный стержень, изображенный на рис. 80, обладает прямолинейной анизотропией частного вида: в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к образующей (т. е. совпадающая с плоскостью поперечного сечения), причем усилия распределены по торцам и на каждом из них приводятся к скручивающему моменту В этом случае вся теория очень упрощается. Вместо системы (49.9) мы будем иметь только одно уравнение для функции так как функцию можно, принимая во внимание уравнения (49.9) и граничные условия и условия на торцах, положить равной нулю. Кроме того,

Из шести составляющих напряжений четыре равны нулю,

а остальные связаны с функцией

Функция удовлетворяет уравнению второго порядка и в развернутом виде (не сокращенно) оно запишется так:

На контуре поперечного сечения

причем в случае односвязной области сечения можно принять

Функция и напряжения определятся с точностью до множителя О

Неизвестный относительный угол закручивания (крутку) найдем из условий на торцах или, что то же, из условий равновесия в плоскости поперечного сечения, из уравнения:

откуда

Здесь С — жесткость при простом или чистом кручении

Полный угол закручивания стержня длиной I равен

Введем вместо новую функцию положив

Эту функцию, характеризующую искривление плоскости поперечного сечения, называют функцией кручения или функцией перемещения, в противоположность которая называется функцией напряжений при кручении.

Функция удовлетворяет уравнениям а

Наконец, проекции перемещений будут иметь вид

что вытекает непосредственно из выражений (49.10) и значений (51.1).

Можно указать два основных способа решения задач о кручении. Первый способ — за неизвестную функцию берется функция напряжений при кручении. Эта функция удовлетворяет уравнению (51.4) и на контуре поперечного сечения принимает постоянное значение (в частности, равна нулю).

Второй способ — за неизвестную функцию принимается функция кручения Выразив через нее напряжения, получим:

Здесь

Требуя, чтобы напряжения удовлетворяли единственному уравнению равновесия сплошной среды,

получим уравнение, которому удовлетворяет

или

Граничное условие получим из равенства

Оно будет для функции сложнее, чем для а поэтому второй способ менее удобен для решения конкретных задач, чем первый. Во всех случаях мы будем предпочитать первый способ.