§ 41. Осесимметричное распределение напряжений в однородном полом цилиндре, обладающем цилиндрической анизотропией

Перейдем к изучению конкретных частных задач и прежде всего остановимся на теле в виде полого кругового цилиндра с осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью цилиндра.

Сначала рассмотрим упругое равновесие тела в виде полого цилиндра (трубы) конечной длины, изготовленного из однородного материала, обладающего цилиндрической анизотропией самого общего вида, находящегося под действием усилий, распределенных по боковой поверхности и по торцам. Предположим, что: 1) усилия на цилиндрических поверхностях нормальны и распределены равномерно и 2) усилия на торцах распределены

одинаково по обеим поверхностям и приводятся к равным и противоположно направленным осевым силам и к скручивающим моментам.

Рис. 70.

Примем ось тела за ось z цилиндрической системы координат, направим полярную ось х произвольно в плоскости одного из крайних сечений и введем обозначения: внутренний и внешний радиусы сечения; внутреннее и наружное давление на единицу площади; осевая сила и скручивающий момент (рис. 70).

Введем далее обозначения для коэффициентов, зависящих от , которые войдут в формулы для напряжений:

Можно утверждать, что даже в общем случае анизотропии осесимметричное распределение внешних усилий вызывает напряжения, одинаковые во всех поперечных сечениях и зависящие только от расстояния от оси. Мы можем в системе (23.15) положить и

искать решение полученных уравнений в виде функций только одной переменной

Тогда для напряжений получим выражения:

Система уравнений для принимает такой вид:

Условия на цилиндрических поверхностях:

Условия на торцах сводятся к двум:

Общее решение системы (41.6) имеет следующий вид:

Из шести произвольных постоянных две можно положить равными нулю, так как им соответствуют напряжения, равные нулю, а именно: Составляющие напряжений, выраженные по формулам (41.4) через постоянные, пока еще не найденные, будут иметь такой вид:

Определив по напряжениям (41.10) перемещения (путем интегрирования уравнений обобщенного закона Гука (23.7) и (23.8)), мы заключаем, что при произвольных в состав выражений для перемещений войдут непериодические функции угла т. е. перемещения вообще будут многозначными. Для того чтобы сделать их однозначными, нужно положить

Введем еще обозначения: отношение радиусов сечения и отношение переменного расстояпия к наружному радиусу

Удовлетворяя условиям на цилиндрических поверхностях, получим выражения через С и три формулы для трех напряжений (четвертую см. (41.5)):

Оставшиеся неопределенными постоянные должны быть найдены из двух условий на торцах (41.8). Для того чтобы их получить, нужно проделать совершенно элементарные, но громоздкие выкладки, которые приведут к довольно сложным выражениям для коэффициентов Ввиду сказанного мы ни выкладок, ни окончательных результатов выписывать не будем.