§ 20. Общие выражения для функций напряжений в однородном прямолинейно-анизотропном теле

Общее решение системы уравнений (19.2) можно записать в виде

Здесь общее решение однородной системы

a — какое-нибудь частное решение неоднородной системы (19.2). Частное решение зависит от правых частей неоднородных уравнений и если эти правые части несложны, например, составлены из элементарных функций, то и частные решения обычно отыскать нетрудно.

Чтобы получить общее решение однородной системы, исключим из нее какую-нибудь функцию, например, Тогда получим для оставшейся функции уравнение шестого порядка

Такое же уравнение получим и для другой функции. Оператор шестого порядка можно разложить на шесть линейных операторов первого порядка и уравнение (20.3) представится в виде

Здесь

корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному (20.3):

где обозначено:

Интегрирование линейного уравнения шестого порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. Предположим, что

среди корней кратных. Обозначим:

Функция удовлетворяет уравнению

общий интеграл его равен произвольной функции аргумента которую для удобства мы обозначим как производную пятого порядка некоторой функции

Функция удовлетворяет неоднородному уравнению

которое легко интегрируется. В результате получается

Так последовательно из (20.8) мы определим и наконец Изменив обозначения произвольных функций, получим общие выражения для

Функции и удовлетворяют не только уравнению (20.3), но, кроме того, и системе уравнений (20.2). Отсюда следует, что между ними должна быть связь, которая легко устанавливается совершенно элементарным путем. В результате получаем

Здесь произвольные постоянные; штрихом обозначена производная по всему аргументу

Этот способ решения не годится, очевидно, если среди корней есть равные. Но и в этом случае отыскание не представляет большого труда и мы на этом вопросе останавливаться не будем.

Общее выражение для функции напряжений может быть получено и несколько иначе. Будем искать частное решение уравнения (20.3) в виде

Подставляя в (20.3) и сокращая на (ибо уравнение содержит производные только шестого порядка), получим алгебраическое уравнение шестой степени относительно имеющее шесть корней. Если среди корней нет кратных, то общее выражение для мы получим в виде суммы шести функций . В случае наличия кратных корней задача немного усложняется, но и при корнях любой кратности решение легко может быть найдено.

Далее остановимся на четырех теоремах, весьма важных для всей теории равновесия тела, ограниченного цилиндрической поверхностью ([56], стр. 351—353 и [20], § 19). При доказательстве мы исходим из двух основных положений: 1) любые шесть вещественных чисел можно принять за значения составляющих напряжений в данной точке упругого анизотропного тела; 2) потенциальная энергия деформации V, отнесенная к единице объема, есть величина положительная при любых значениях составляющих напряжений (вещественных и не равных нулю одновременно).

Теорема 1. Уравнение не может иметь вещественных корней.

Однородное тело с анизотропией общего вида испытывает заведомо упругие деформации и находится в устойчивом равновесии, если все составляющие напряжений не превосходят по абсолютной величине некоторого числа 8 0.

Зададим в данной точке напряжения:

где к и вещественные числа; тогда в этой точке

Придавая к всевозможные вещественные значения, будем всякий раз подбирать так, чтобы все составляющие напряжений по абсолютной величине были меньше 8. При всяких значениях напряжений, заданных указанным образом, а отсюда при вещественных к; следовательно, уравнение не имеет вещественных корней.

Теорема 2. Уравнение не может иметь вещественных корней.

Доказательство проводится аналогичным путем. Задавая значения напряжений:

имеем

а следовательно, при всех вещественных к.

Теорема 3. Уравнение не может иметь вещественных корней.

Чтобы доказать эту теорему, зададим напряжения в точке таким образом:

где величина конечная, в частности, нуль.

Получим выражение упругого потенциала в точке:

что и доказывает теорему.

Теорема 4. Уравнение

не может иметь вещественных корней.

Доказывается так же, как теорема 1, только в данном случае нужно положить

Для уточнения заметим, что при доказательстве всех четырех теорем мы заранее исключаем из рассмотрения такие случаи, когда свободные члены уравнений равны нулю. Это — особые случаи, которые, впрочем, для нас большого интереса не представляют.

Совершенно очевидно, что если или постоянное слагаемое более сложного уравнения будут равны нулю, то соответствующие теоремы теряют силу, так как один корень уравнения непременно будет вещественным — равным нулю. Но тогда каждое из уравнений становится уравнением нечетной степени и, следовательно, имеет еще по крайней мере один вещественный корень, а всего не менее двух.

Уравнения

и соответствующие (20.22), левые части которых построены так же, как левые части рассмотренных уравнений, только с заменой коэффициентов модулями А и, также не могут, за исключением особых случаев, иметь вещественных корней. Это утверждение не нуждается в доказательстве, а непосредственно вытекает из уравнений обобщенного закона Гука, согласно которому однозначно выражаются через и наоборот.

На основании теоремы 3 мы можем утверждать, что числа всегда комплексные или чисто мнимые, причем три из нихявляются сопряженными с тремя другими. Мы будем называть комплексными параметрами

данной проблемы и обозначать таким образом:

(здесь условимся всегда считать положительными). Далее введем обозначения и названия:

усложненные или обобщенные комплексные переменные ;

сопряженные усложненные или обобщенные комплексные переменные;

Будем обозначать, как обычно, символом вещественную часть комплексного выражения. Мы можем записать общие выражения для функций напряжений, куда войдут вещественные части трех функций усложненных комплексных переменных:

(штрихом обозначены производные первого порядка по