Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 20. Общие выражения для функций напряжений в однородном прямолинейно-анизотропном телеОбщее решение системы уравнений (19.2) можно записать в виде
Здесь
a Чтобы получить общее решение однородной системы, исключим из нее какую-нибудь функцию, например, Тогда получим для оставшейся функции уравнение шестого порядка
Такое же уравнение получим и для другой функции. Оператор шестого порядка
Здесь
где обозначено:
Интегрирование линейного уравнения шестого порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. Предположим, что среди корней
Функция
общий интеграл его равен произвольной функции аргумента
Функция
которое легко интегрируется. В результате получается
Так последовательно из (20.8) мы определим
Функции и удовлетворяют не только уравнению (20.3), но, кроме того, и системе уравнений (20.2). Отсюда следует, что между ними должна быть связь, которая легко устанавливается совершенно элементарным путем. В результате получаем
Здесь Этот способ решения не годится, очевидно, если среди корней есть равные. Но и в этом случае отыскание не представляет большого труда и мы на этом вопросе останавливаться не будем. Общее выражение для функции напряжений
Подставляя в (20.3) и сокращая на Далее остановимся на четырех теоремах, весьма важных для всей теории равновесия тела, ограниченного цилиндрической поверхностью ([56], стр. 351—353 и [20], § 19). При доказательстве мы исходим из двух основных положений: 1) любые шесть вещественных чисел можно принять за значения составляющих напряжений в данной точке упругого анизотропного тела; 2) потенциальная энергия деформации V, отнесенная к единице объема, есть величина положительная при любых значениях составляющих напряжений (вещественных и не равных нулю одновременно). Теорема 1. Уравнение Однородное тело с анизотропией общего вида испытывает заведомо упругие деформации и находится в устойчивом равновесии, если все составляющие напряжений не превосходят по абсолютной величине некоторого числа 8 0. Зададим в данной точке напряжения:
где к и
Придавая к всевозможные вещественные значения, будем всякий раз подбирать Теорема 2. Уравнение Доказательство проводится аналогичным путем. Задавая значения напряжений:
имеем
а следовательно, Теорема 3. Уравнение Чтобы доказать эту теорему, зададим напряжения в точке таким образом:
где Получим выражение упругого потенциала в точке:
что и доказывает теорему. Теорема 4. Уравнение
не может иметь вещественных корней. Доказывается так же, как теорема 1, только в данном случае нужно положить
Для уточнения заметим, что при доказательстве всех четырех теорем мы заранее исключаем из рассмотрения такие случаи, когда свободные члены уравнений равны нулю. Это — особые случаи, которые, впрочем, для нас большого интереса не представляют. Совершенно очевидно, что если Уравнения
и соответствующие (20.22), левые части которых построены так же, как левые части рассмотренных уравнений, только с заменой коэффициентов На основании теоремы 3 мы можем утверждать, что числа данной проблемы и обозначать таким образом:
(здесь
Будем обозначать, как обычно, символом
|
1 |
Оглавление
|