§ 31. Растяжение однородной ортотропной пластинки с эллиптическим отверстием

Рассмотрим более подробно упругое равновесие ортотропной пластинки с эллиптическим отверстием, расположенным вдали от края, которая растягивается равномерно распределенными усилиями в одном направлении.

Мы будем предполагать, что 1) одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной; 2) направления главных осей эллипса х, у не совпадают с главными направлениями упругости ; 3) усилия действуют под произвольным углом к главным осям отверстия, причем край его не нагружен и не закреплен. Пластинка рассматривается, как бесконечная и усилия считаются приложенными на бесконечности. Решение этой задачи получено нами совместно с В. В. Солдатовым в работе [64].

Рис. 46.

Изложим решение этой задачи, схема которой указана на рис. 46. Введем следующие обозначения: — главные оси усилие на единицу площади, угол наклона усилий к главной оси эллипса, угол между направлениями главной оси эллипса и главной оси упругости Введем технические константы: модули Юнга для главных направлений коэффициенты Пуассона и модуль сдвига для плоскости Далее введем обозначения: коэффициенты деформации из уравнений обобщенного закона Гука, записанных для системы координат ху (не главной) и величины

Так как выражается через и наоборот, то у нас намечаются два независимых параметра, которые войдут в формулы для напряжений в ортотропной пластинке; мы назовем к и вещественными параметрами обобщенного плоского напряженного состояния анизотропной (точнее, ортотропной) пластинки. Вещественные параметры плоской деформации ортотропной среды выражаются через отношения соответствующих приведенных коэффициентов

В случае изотропной среды в случае ортотропной вообще Это дает нам основание утверждать, что пара чисел как-то характеризует отклонение среды от изотропной, т. е. является своего рода мерой анизотропии (в случае плоской задачи для ортотропной среды). В следующем параграфе мы еще вернемся к этому вопросу.

Введем еще обозначения:

Уравнения обобщенного закона Гука для главных направлений связывающие составляющие деформации и напряжения (средние по толщине), запишутся так:

То же для направлений

Коэффициенты выражаются через главные (технические) упругие постоянные на основании общих формул преобразования упругих постоянных следующим образом:

Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая

введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра

Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия — где, как показывает ряд решенных различных задач, оно получается наибольшим. В предыдущем параграфе есть все необходимое, чтобы вывести формулу для напряжения у края отверстия. Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательную формулу для напряжения у самого края отверстия, действующего на площадки, нормальные к этому краю:

Отсюда, прифи равных нулю или получаем выражения для напряжений для четырех основных случаев, когда отверстие вырезано так, что направления большой и малой осей эллипса совпадают с главными осями упругости, а растяжение производится в направлении большой или малой оси эллипса. В частности, при растяжении в направлении малой оси имеем

или

Естественно ожидать, что при наибольшее напряжение получится на концах большой оси и определится по одной из двух формул:

или

Однако следует заметить, что это утверждение при некоторых значениях параметров к и может оказаться неверным и напряжение получится наибольшим по величине на концах малой оси, а небольшой; оно будет сжимающим и найдется по одной из формул:

Заметим, что на концентрацию напряжений около отверстия большое влияние оказывает модуль сдвига входящий в состав выражения для параметра

Приведем некоторые результаты вычислений для пластинки с упругими постоянными, как у березовой фанеры (см. таблицу 6). Мы будем такую пластинку для краткости называть просто «фанерной». Если направление оси х совпадает с направлением наибольшего модуля Юнга, то для нее получаются следующие значения комплексных и вещественных параметров:

Если же направление оси х совпадает с направлением наименьшего модуля Юнга, то для той же фанерной пластинки получается:

Таблица 8 (см. скан) Наибольшие растягивающие напряжения в фанерной пластинке

Таблица 9 (см. скан) Наибольшие [сжимающие напряжения в фанерной пластинке

В таблицах 8 и 9 приведены значения наибольшего растягивающего напряжения и величины наибольшего сжимающего напряжения на контуре отверстия в фанерной пластинке. Отношение полуосей эллипса взято равным Рассмотрено пять случаев ориентации усилий по отношению к большой оси эллипса и восемь случаев ориентации главных направлений упругости. Сохранено по два знака после запятой; вычисления с большей точностью едва ли целесообразны, принимая во внимание приближенный характер исходных данных (таблица 6), а также то, что нас интересует главным образом качественная картина распределения напряжений.

Приводим величины наибольших растягивающих напряжений в изотропной пластинке (таблица 10);

Таблица 10 (см. скан) Наибольшие растягивающие напряжения в изотропной пластинке

Для изотропной пластинки во всех случаях Ошах

На рис. 47—50 изображены графики распределения напряжения по контуру отверстия для четырех случаев:

Величины напряжений отложены от контура отверстия на продолжениях лучей, проведенных из центра через данные точки контура; положительные напряжения изображены стрелками, направленными из центра к периферии, отрицательные — стрелками, направленными к центру. На каждом графике показана схема нагрузки. Для сравнения пунктиром показаны графики для изотропной пластинки

На рис. 51 показано изменение (кривая 1) и (кривая 2) в зависимости от при растяжении вдоль малой оси отверстия. На рис. 52 дано изменение в зависимости от угла наклона усилий к большой оси для (кривая 1) и для (кривая 2).

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы для фанерной пластинки, которые дают основание судить и о том, как распределяются напряжения по контуру отверстия в пластинке, у которой

Как видно из графиков на рис. 47—50, контур отверстия разбивается на четыре симметричных участка, где действуют попеременно растягивающие и сжимающие

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

напряжения; при этом во всех случаях наибольшие растягивающие напряжения значительно превышают величины наибольших сжимающих. В анизотропной пластинке наибольшее растягивающее напряжение получается больше, чем в такой же изотропной пластинке.

Рис. 54.

Рис. 52.

Как показывает таблица 8, наибольшее из всех возможных растягивающих напряжений получается в случае, когда отверстие вырезано так, что направление его малой оси совпадает с направлением, для которого модуль Юнга является наибольшим и растяжение производится в направлении малой оси отверстия. В этом случае Из других рассмотренных случаев, приведенных в таблицах, «невыгодными» (в смысле наибольших растягивающих напряжений) оказываются следующие:

Наиболее напряженными местами будут области, находящиеся вблизи концов большой оси (угловое расстояние от оси х не превышает 8°).

При растяжении в направлении малой оси эллиптического отверстия в разобранных случаях наименьшее значение максимального растягивающего напряжения равно и получается в том случае, когда оси отверстия направлены под углом 45° к главным направлениям упругости.

Как показывает таблица 9, наибольшие по величине сжимающие напряжения получаются при следующих углах

Как видно из той же таблицы, наименьшие по величине сжимающие напряжения равны и получатся 0° и при

Наибольшие по величине сжимающие напряжения во всех рассмотренных случаях значительно меньше максимальных растягивающих напряжений.

А. С. Космодамианским и его учениками изучено большое число случаев анизотропной пластинки, ослабленной многими эллиптическими и круговыми отверстиями, а также даны приближенные решения для случаев отверстий иной формы, края которых свободны или подкреплены см. работу [15а], где имеется также большой список литературы).