§ 33. Определение напряжений в однородной пластинке с эллиптическим и круглым ядром

Пусть имеется анизотропная пластинка произвольного очертания с эллиптическим отверстием, малым по сравнению с размерами пластинки и расположенным далеко от края, в которое впаяно без зазора и предварительного натяжения ядро из другого материала той же толщины. По краю пластинки распределены, вообще говоря, произвольные усилия, действующие в ее плоскости; к ядру внешних сил, кроме контактных, усилий, действующих со стороны пластинки, не приложено. Объемные силы отсутствуют.

Мы будем рассматривать, как и раньше, область пластинки как бесконечную плоскость с эллиптическим вырезом и считать, что внешние усилия приложены на бесконечности.

Приняв центр эллипса за начало координат, направим оси х, у по его главным осям (рис. 58). Уравнение эллипса зададим в параметрическом виде:

Все величины для ядра — напряжения, перемещения, деформации, коэффициенты деформации, в отличие от тех же величин для пластинки, мы будем отмечать штрихами.

Рис. 58.

Если пластинка не является ортотропной, но имеет в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную срединной, то уравнения обобщенного закона Гука для нее, связывающие средние по толщине значения компонент деформации и напряжений, запишутся следующим образом (черты над обозначающие осреднение, опускаем):

Такие же уравнения для ядра (у которого такяе имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной) имеют вид:

Полагая, как и во всех предыдущих случаях, деформации малыми, будем решать задачу приближенно, путем наложения напряжений в пластинке конечных размеров, без ядра и напряжений в бесконечной пластинке с эллиптическим отверстием, нагруженным по краю внешними усилиями; последние будем подбирать так, чтобы на

поверхности контакта ядра и пластинки выполнялись нужные условия.

Обозначим через функцию напряжений, составляющие напряжений и проекции перемещений в пластинке без ядра, функции усложненных комплексных переменных в пластинке с отверстием. Тогда формулы для напряжений и перемещений в пластинке с ядром можно представить в таком виде:

Здесь

постоянные, характеризующие жесткие смещения в плоскости комплексные параметры — корни уравнения

(33.7) предполагаемые неравными.

Рис. 59.

Напряжения в упругом ядре определятся через функцию или через две функции переменных где комплексные параметры материала ядра.

Условия в точке на поверхности контакта запишутся так (рис. 59):

Преобразуя первые два условия путем интегрирования по дуге контура, получим уравнения, из которых должны быть определены функции и

Ход решения такой же, как в случае бесконечной пластинки с отверстием, край которого нагружен заданными усилиями. В общем случае нагрузки вид комплексных потенциалов известен:

где

Простейшими будут случаи, когда нагрузки (нормальная и касательная) распределены по внешнему краю равномерно. Рассмотрим их. При принятых упрощениях имеем

(известные постоянные);

Исследование показывает, что мы сможем удовлетворить условиям (33.8) только тогда, когда распределение напряжений в ядре также будет равномерным:

(неизвестные постоянные);

Добавочные напряжения в пластинке, выражающие влияние ядра, определятся с помощью функций вида

Три неизвестные (напряжения в ядре) и четвертую — разность вращений — мы найдем из четырех уравнений (33.9). Подробно выписывать эти уравнения мы не будем, равно как и получившиеся выражения которые довольно громоздки.

Эти уравнения в развернутом виде имеются в нашей работе [61] и книге [21] (стр. 176) и мы можем для случая неортотропного тела их не выписывать, отсылая интересующихся к указанным работам. В случае же, когда пластинка и ядро ортотропны система четырех уравнений (33.9) распадается на две элементарные системы, которые мы приводим:

Здесь обозначено:

кип — вещественные параметры пластинки (см. §§ 31, 32). Несколько сложнее решается задача в случаях, когда ядро впаяно или вогнано в отверстие с натяжением. Задача значительно усложняется, если ядро вложено в отверстие и контакт на некоторых участках контура может нарушаться.