Глава 6. ОБОБЩЕННОЕ КРУЧЕНИЕ И КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

В настоящей главе изложены основные общие положения и частные случаи упругого равновесия, которые названы обобщенным кручением и при развитой упругой симметрии переходят в обычное или «чистое» кручение стержней с прямолинейной осью. Теория обобщенного кручения впервые разработана Фойгтом [38], строгая теория чистого кручения — Сен-Венаном [121]. По теории простого или чистого кручения известно очень много работ и среди них — большая монография Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [4]. В этой монографии указана обширная литература по кручению, собранная в аннотированные списки. Есть и у нас монография, посвященная кручению [22].

§ 49. Обобщенное кручение однородных стержней с прямолинейной анизотропией

Рассмотрим однородный цилиндрический или призматический стержень с прямолинейной анизотропией самого общего вида (21 или 18 упругих постоянных), находящийся в равновесии под действием усилий, распределенных по торцам и приводящихся к скручивающим моментам. Боковая поверхность свободна от внешних усилий; объемные силы отсутствуют. Область сечения предполагается конечной (односвязной или многосвязной). Поместив начало координат в центре тяжести торцевого сечения, направим ось z параллельно образующей (по геометрической оси стержня), оси х и у по главным осям инерции сечения (рис. 80). Для такого тела верны уравнения обобщенного закона Гука (3.8).

Если плоскости поперечных сечений являются плоскостями упругой симметрии, то стержень будет испытывать деформацию кручения, основной особенностью которой будет поворот одного сечения относительно другого вокруг оси z при одновременном (за исключением кругового и кольцеобразного сечения) искривлении сечений, причем все сечения искривляются одинаково. Напряженное состояние характеризуется тем, что из шести составляющих напряжения только два не равны нулю.

Рис. 80.

Вопрос значительно усложняется, если плоскость поперечного сечения не является плоскостью упругой симметрии. Деформация, вызванная скручивающими моментами, и напряженное состояние будут более сложными и этот случай упругого равновесия назван «обобщенным кручением» [56], [22].

Для того чтобы получить общие уравнения обобщенного кручения, обратимся к уравнениям для общего случая упругого равновесия, при котором составляющие напряжения не меняются по длине (см. §§ 18, 19), и положим

Получим

Функции удовлетворяют уравнениям (19.2) и (19.3) и граничным условиям:

В случае односвязной области постоянные можно положить равными нулю, так что граничные условия запишутся совсем просто: первые производные и сама функция на контуре должны быть равны нулю. Кроме того, напряжения на торцах удовлетворяют условиям (19.9), которые в данном случае сведутся к следующим:

В случае односвязной области третье условие (49.5) принимает вид

Из условий (49.5) мы выразим постоянные через скручивающий момент. Так как боковая поверхность тела не нагружена и объемные силы отсутствуют, то из уравнений (49.5) и (49.6), учитывая зависимости (19.18) — (19.20) получим

главные моменты инерции сечения).

Для составляющей будем иметь формулу

Функции напряжений удовлетворяют системе уравнений

Здесь дифференциальные операторы, выражения которых указаны в § 19 [см. (19.3)].

Перемещения определятся по формулам [см. (18.19)]:

Здесь «жесткие» смещения, содержащие шесть постоянных и определяемые по формулам (18.8).

Составляющие напряжений можно выразить через три функции комплексных переменных (комплексные потенциалы):

Граничные условия для будут иметь вид

Здесь частное решение неоднородной системы (49.9). Так как эта часть постоянна, то можно взять в очень простом виде, например, в виде полинома 2-й степени относительно х и у:

Функции определятся с точностью до множителя

В частности,

Неизвестная постоянная найдется из уравнения

Введем в рассмотрение новую величину которую определим как жесткость при кручении изотропного стержня

Тогда из уравнения (49.16) получим

Отсюда следует:

В последнем выражении коэффициенты деформации выражены через коэффициенты Ченцова. Величину назовем жесткостью при обобщенном кручении. Очевидно,

Выражения для составляющих перемещения (49.10) показывают, что при обобщенном кручении ось стержня под действием скручивающих моментов изгибается, не остается прямой. Если обозначить через I первоначальную длину стержня и считать заделанным конец то проекции изогнутой оси на плоскости xz и yz представятся формулами:

Перемещения центра незакрепленного сечения выражаются формулами: