§ 55. Кручение однородного ортотропного стержня прямоугольного сечения

Рассмотрим стержень прямоугольного сечения со сторонами и длиной однородный, прямолинейно-ортотропный (эквивалентные направления параллельны направлениям осей), с главными модулями сдвига В каждой точке имеются три ортогональные плоскости

упругой симметрии, параллельные граням параллелепипеда. Один конец закреплен, по другому распределены усилия, приводящиеся к скручивающему моменту других усилий извне не приложено и объемные силы отсутствуют.

В данном случае удобнее за начало координат принять середину короткой стороны торцевого свободного поперечного сечения, если они не одной и той же длины (если же сечение квадратное, то середину одной из четырех сторон), ось у направить по короткой стороне, а ось параллельно длинной; ось z, следовательно, будет направлена параллельно ребрам от свободного торца к закрепленному (рис. 85).

Рис. 85.

Функция напряжений должна обращаться в нуль на всех четырех сторонах поперечного сечения: Мы будем искать решение, т. е. функцию в виде простого ряда, потребовав, чтобы эта функция заранее обращалась в нуль на двух противоположных сторонах сечения; неизвестные постоянные определим из условий на двух других сторонах, подобно тому как решается задача о кручении изотропного стержня прямоугольного сечения или [22]).

Разложив правую часть уравнения (52.13) в ряд Фурье по синусам, перепишем его следующим образом:

Здесь обозначено:

Разыскиваем решение этого уравнения в виде ряда, заранее удовлетворяющего условиям на сторонах а:

Подставляя в левую часть (55.1) и сравнивая коэффициенты при синусах одинаковых аргументов в левой и правой частях, получим для обыкновенное уравнение

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Определяя постоянные из условий на сторонах , получим окончательное выражение для функции напряжений:

По формулам (51.3) находим составляющие напряжений также в виде рядов

Далее введем новый параметр, зависящий от отношения модулей упругости и от отношения сторон:

и коэффициенты функции этого параметра,

заданные в виде рядов

С помощью этих коэффициентов мы можем записать очень простые формулы для жесткости при кручении С, крутки и наибольшего касательного напряжения. Имеем:

Касательное напряжение в изотропном стержне получается наибольшим на серединах длинных сторон (см., например, [32], стр. 317). В ортотропном стержне точки с наибольшим касательным напряжением могут оказаться на серединах как длинных, так и коротких сторон, в зависимости от Таким образом, наибольшее из напряжений определится по одной из двух формул:

(в точках см. рис. 83) или

(в точках .

В таблице 20 приведены численные значения коэффициентов вычисленные по формулам (55.9) — (55.11), для некоторых значений параметра После запятой удержано по три знака.

Таблица 20 (см. скан) Значения коэффициентов из формул (55.9)-(55.11)

Таблица 20 получена в результате обработки более подробных таблиц Сен-Венана [121]. В ней указаны значения коэффициентов только для больших или равных единице, т. е. для отношений сторон Но ее можно использовать и в случаях, когда нужно только так выбрать обозначения сторон, чтобы было выполнено условие а это всегда можно сделать. Пусть, например, длины сторон равны 4 и 3 см, а модули сдвига для плоскостей упругой симметрии, параллельных сторонам, равны соответственно В этом случае нужно положить и тогда по таблице находим:

Наибольшее напряжение получится в точках на серединах сторон (коротких); по формуле (55.15)

В точках на серединах длинных сторон а получаем:

Можно получить решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения, ортотропного и однородного, и в другой форме — в виде двойного тригонометрического ряда. В этом случае поместим начало координат в одном из углов сечения и направим оси х и у по сторонам. Разложив правую часть уравнения (52.13) в двойной ряд Фурье

по синусам и разыскивая выражение также в виде двойного ряда, расположенного по синусам, получим

Очевидно, что эта функция обращается в нуль на всех четырех сторонах сечения. Несмотря на свою крайнюю простоту, эта форма решения менее удобна, чем форма (56.6) по той простой причине, что члены ряда (55.16) убывают значительно медленнее по сравнению с членами ряда (55.6). Поэтому формула (55.16) представляет теоре тический интерес, но для использования на практике значительно удобнее функция в виде простого ряда.

Заметим, что решение для неортотропного стержня хотя и было получено (оно равносильно решению для стержня с сечением в виде параллелограмма, найденному Р. С. Минасяном [76]), но практически реализовать его значительно труднее, чем решение для ортотропного стержня.