§ 83. Распределение напряжений в полупространстве под действием сосредоточенной силы и произвольной нормальной нагрузки
Пусть в точке О на ограничивающей плоскости к полупространству приложена сосредоточенная сила 
(рис. 108). Чтобы получить напряжения, вызванные ею, рассмотрим предварительно нормальную нагрузку интенсивности 
распределенную равномерно по площади круга бесконечно малого радиуса 
. Для такой нагрузки
Рис. 108.
Подставим это выражение в формулы (86.15), а затем устремим радиус 
к нулю. При 
выражения, стоящие под знаками интегралов, стремятся к определенным пределам, так как
Все интегралы, входящие в формулы для напряжений, сводятся к четырем различным, выражения которых известны; приводим их (см. [11], стр. 721 и 726).
число вещественное или комплексное с положительной вещественной частью, но не мнимое).
Получим следующие формулы, дающие распределение напряжений в трансверсально-изотропном полупространстве от сосредоточенной силы:
(см. скан)
Выражения для 
можно записать еще иначе:
Отметим характерные особенности рассматриваемого напряженного состояния. Прежде всего можно заметить, что все напряжения изменяются обратно пропорционально
квадрату расстояния 
от точки приложения силы, т. е. убывают довольно быстро. На площадках, нормальных к силе, действует напряжение 
с составляющими 
Величина полного напряжения на этих площадках равна
а направление его совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из точки приложения силы в данную точку или обратно направлению этого радиус-вектора (рис. 108). Точки, где напряжение имеет заданную постоянную величину 
располагаются на поверхности вращения, проходящей через начало координат; уравнение этой поверхности будет:
Распределение напряжений в изотропном полупространстве найдем путем предельного перехода. Полагая в формулах 
и раскрывая неопределенности, получаем:
Здесь 
расстояние от точки приложения силы до данной точки. Поверхности одинаковых напряжений 
становятся сферическими, проходящими через точку приложения силы, с центром на линии действия силы.
От сосредоточенной силы легко перейти к нормальной нагрузке, распределенной как угодно по ограничивающей
плоскости. Исследование в этом случае удобнее вести, пользуясь системой декартовых координат, у которой плоскость ху совпадает с ограничивающей плоскостью полупространства.
Предварительно нужно найти напряжения от силы 
приложенной не в начале координат, а в произвольной точке О с координатами 
(рис. 109).
Рис. 109.
Рис. 110.
Зная напряжения 
для цилиндрической системы координат с осью 
направленной по линии действия силы, найдем составляющие напряжений в декартовой системе х, у, z
Здесь 
определяются по формулам (83.4), в которых нужно заменить 
на 
Пусть нагрузка распределена по некоторому участку 5 ограничивающей плоскости и является нормальной и заданной функцией х 
(рис. 110).
приходится нагрузка 
которую мы рассматриваем как сосредоточенную силу. Напряжения 
мы получим путем суммирования напряжений, вызванных бесконечно малыми силами, т. е. путем интегрирования по 
и 
в пределах области 
Всех формул мы приводить не будем, а укажем только выражение для 
