§ 48. Изгиб плоского кривого бруса моментами и силой, приложенными на концах

С задачей об упругом равновесии неоднородного цилиндра под действием силы и момента сходна задача об изгибе плоского кривого бруса моментами и силой, действующими в срединной плоскости.

Пусть имеется плоский брус постоянной толщины обладающий цилиндрической анизотропией, и неоднородный, ограниченный в плане двумя концентрическими окружностями радиусов а и и двумя радиальными отрезками, образующими произвольный угол а Мы не будем в общем случае предполагать брус ортотропным, но будем считать, что срединная плоскость совпадает с плоскостью упругой симметрии, а ось анизотропии проходит нормально к этой плоскости через общий центр окружностей. Ось анизотропии принимаем за ось z цилиндрической системы координат, а ось х, от которой отсчитываются полярные углы 0, направляем как удобнее в зависимости от нагрузки, которую считаем действующей в плоскостях, параллельных срединной и симметричных относительно нее.

Рассматриваем средние по толщине напряжения, деформации и перемещения. Коэффициенты деформации из уравнений обобщенного закона Гука полагаем произвольными функциями переменной и четными функциями координаты z и от 0 не зависящими. Уравнения обобщенного закона Гука, связывающие средние по толщине выражения для напряжений и перемещений, в случае неортотропного тела запишем так (горизонтальные черты, выражающие осредненные величины напряжений, деформаций и коэффициентов отбрасываем):

Три средние составляющие напряжений выражаются через функцию напряжений

(объемные силы считаем отсутствующими). Тогда для функции после исключения перемещений из (48.1), получаем уравнение, более общее по сравнению с (44.4), с заменой на

и соответствующие условия для средних по толщине напряжений.

Рассмотрим отдельно два простейших случая изгиба [70].

Рис. 78.

1. Чистый изгиб моментами. Дан кривой плоский брус, о котором говорилось выше. Криволинейные стороны ничем не нагружены и не закреплены; (торцевые поверхности нагружены усилиями, на каждом торце приводящимися к моментам напр авленным в противоположные стороны. Для определенности один торец можем считать закрепленным, другой — свободным.

Направим ось х по оси симметрии фигуры (рис. 78). На криволинейных сторонах составляющие напряжений равны нулю, на прямолинейных приводятся к

моментам Так же как и в случае однородного бруса с постоянными решение получается с помощью функции напряжений, зависящей только от одной переменной Полагая

имеем

Уравнение для на основании (48.3) можно записать так:

Входящие в состав общего интеграла этого уравнения второго порядка постоянные найдутся из условий на криволинейных сторонах и из интегральных условий приводимости на прямолинейных сторонах. На прямолинейных сторонах условия совпадают, так что всегда у нас будут три условия. Столько же мы имеем и произвольных постоянных —

При произвольной зависимости коэффициентов от решение уравнения (48.6) затруднительно; можно говорить лишь о решении для частных случаев задания в том числе о тех, какие рассмотрел М. М. Плотников, изучая напряженное состояние трубы с различного типа неоднородностью (§ 44). Наиболее простым является случай, когда все пропорциональны одной и той же степени расстояния

Введем обозначения § 44, заменив всюду на [см. формулы (44.8) и (44.10)]:

Тогда, раскрыв скобки, перепишем (48.6) так:

(кликните для просмотра скана)

Здесь в этом случае:

2. Изгиб силой. Пусть плоский брус закреплен одним концом, а по другому концу распределены усилия, приводящиеся к силе действующей в срединной плоскости и образующей с радиусом угол со (рис. 79). Чтобы не перегружать выражения для напряжений формулами и выкладками, рассмотрим в данном случае упрощенный случай — ортотропное тело, у которого одна из плоскостей упругой симметрии совпадает со срединной, другие идут по радиусам и третьи ортогональны к каждой паре первых двух плоскостей.

Рис. 79.

В этом случае также полагаем, что все коэффициенты пропорциональны одной и той же степени т. е. заданы формулами (48.7). Функцию напряжений нужно искать в виде

как и в случае однородного бруса.

Введем обозначения:

далее — определяемые по формуле (45.23), в которой все нужно заменить соответствующими а;

Для функций получаются уравнения:

Отсюда

Все постоянные определяются из условий на криволинейных сторонах и на загруженном конце, причем так как им соответствуют части функции пропорциональные и следовательно, напряжения, равные нулю.

Окончательные выражения для напряжений равны:

Нормальные напряжения достигают наибольших значений в радиальных сечениях, перпендикулярных к линии действия силы (где синус равен ±1), или в заделанном сечении, касательные — на линии действия силы. Значения в радиальном сечении у внутреннего и внешнего края определяются по формулам (48.13) и (48.14), в которые вместо нужно подставить X, (I, а коэффициент — заменить соответственно на