§ 58. Кручение ортотропного стержня прямоугольного сечения с переменными модулями сдвига

Из различных случаев непрерывно-неоднородных стержней с переменными модулями одним из простейших является случай ортотропного стержня прямоугольного сечения, у которого модули сдвига зависят только от одной координаты х или у.

Пусть стержень прямоугольного сечения, изображенный на рис. 85, является непрерывно-неоднородным, причем модули сдвига его — функции кординаты у не меняются вдоль стороны длиной, равной а). Функции предполагаются непрерывными, однозначными и дифференцируемыми по своему аргументу у. Вводя модули сдвига, нужно в уравнении (57.8) положить

и тогда оно примет вид:

Напряжения определятся по прежним формулам (57.7).

Метод решения задачи — такой же, как и соответствующей задачи о кручении однородного стержня. Разложим правую часть (58.1) в ряд Фурье по синусам и ищем выражение для заранее удовлетворяющее условиям на двух сторонах

Уравнение (58.1) перепишется таким образом:

Полагая

подставляя в уравнение (58.2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых синусах в левой и правой частях,

получим уравнения для неизвестных функций

Это уравнение — линейное, с переменными коэффициентами.

Обозначив через линейно-независимые решения однородного уравнения, соответствующие данному и через частное решение неоднородного уравнения с тем же индексом запишем при любом задании общий интеграл (58.4):

Функция напряжений запишется в виде

Граничные условия на сторонах удовлетворяются. Требуя, чтобы граничные условия удовлетворялись и на двух других сторонах мы получим для каждой пары коэффициентов систему уравнений, из которой и определим неизвестные коэффициенты, если найдены Эти частные решения можно найти не для любых значений функций а лишь для некоторых частных заданий их, число которых, по-видимому, не очень мало. Некоторые случаи мы рассмотрим. По-видимому, простейшим будет случай, когда модули сдвига являются экспоненциальными функциями у, т. е.

Здесь постоянные, имеющие размерность модуля сдвига (или что то же, напряжения), любая вещественная безразмерная постоянная величина, неравная нулю — положительная, отрицательная, целая, дробная, иррациональная и

Введем обозначения:

В дальнейшем значки мы для простоты будем отбрасывать.

Общее выражение для функции напряжений с неопределенными коэффициентами запишется следующим образом:

Определив коэффициенты из условий на сторонах , получим окончательно:

В первую очередь нам следует найти жесткость С и выразить через нее скручивающий момент относительный угол закручивания (крутку) и определить напряжения в любой точке и в узловых точках — на серединах сторон. Жесткость определяется по формуле (51.9):

Произведя интегрирование по площади прямоугольника а перейдя к и просуммировав часть ряда, воспользовавшись формулой стр. 21):

получим формулу для жесткости:

Здесь

Дальнейших преобразований этой формулы мы производить не будем, приняв ее за окончательную. Относительный угол закручивания равен

Полный угол закручивания со для всего стержня, длина которого равен:

По формулам (57.7) находим, дифференцируя функцию напряжений (58.12), сами напряжения в любой точке х, у:

Как показывают исследования и вычисления, наибольшее во всем стержне напрящевдз цолучается посредицз

Таблица 21 (см. скан) Значения коэффициентов жесткости и коэффициентов наибольшего напряжения и

одной из сторон, длинной или короткой, и определяется по одной из формул:

Структура коэффициентов ясна из формул (58.18).

В таблице 21 приведены численные значения коэффициента жесткости и коэффициентов наибольшего напряжения ( для стержня прямоугольного сечения с модулям (58.7) для ряда численных значений Сохранено по значащих цифр.

При данных значениях наибольшее напряжение, очевидно, нужно определять по первой формуле (58.19), а не по второй (за исключением . При других значениях параметров, не указанных в таблице 24, наибольшее напряжение определится по второй формуле Разумеется, таблица 21 может служить только для иллюстрации теории, а не для расчетов всевозможных стержней данного типа, так как она содержит коэффициенты для слишком малого числа значений параметров