§ 67. Приближенные методы решения задачи об изгибе консоли поперечной силой

Уравнения теории изгиба поперечной силой сходны с уравнениями теории кручения, а поэтому для отыскания приближенных решений задач об изгибе можно применить методы, сходные с изложенными в § 56. Остановимся коротко на вариационных методах, причем рассмотрим только частный случай, когда цилиндр, изгибаемый силой является однородным, прямолинейно-анизотропным и ортотропным и изгибается без закручивания (заранее можно положить

В зависимости от того, какая именно функция или принимается за основную, можно использовать методы, вытекающие из вариационной формулы Кастилиано или из вариационного уравнения Лагранжа (см. гл. 1, § И). Укажем без вывода основные общие результаты.

Пусть сечение ограничено кривыми

или этими кривыми и одной или двумя прямыми, параллельными оси у. Принимая за основную функцию напряжений имеем (см. § 64):

Функция удовлетворяет уравнению (64.18) и на контуре должна быть равна нулю. Задача равносильна задаче об отыскании функции, сообщающей минимальное значение интегралу

(причем на контуре Решая задачу приближенно, задаемся семейством функций зависящих от двух целочисленных параметров и обращающихся на контуре в нуль. Приближенное решение ищем в виде суммы

Подставляя (67.4) в (67.3), получаем в виде квадратичной функции коэффициентов Затем ищем минимум и получаем систему неоднородных уравнений первой степени для

Если за основную принять функцию изгиба то мы получим

Задача сводится к определению функции придающей минимальное значение интегралу

Приближенное решение получим, задавая семейство функцией и разыскивая в виде суммы

Коэффициенты определяются из уравнений

Кроме двух указанных, известны и другие приближенные методы решения задач об изгибе и кручении стержней. С одной стороны, имеются разновидности вариационных методов, а с другой стороны, разработан ряд методов, которые нельзя назвать вариационными. К числу последних относятся так называемые методы малого параметра, сущность которых заключается в следующем. Если, например, один размер сечения значительно превышает другой или модули (или коэффициенты упругости значительно отличаются друг от друга, то вводится малый параметр, характеризующий это различие. Неизвестная функция или разыскивается в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра; в процессе решения задачи высшие степени параметра, начиная, например, со второй, отбрасываются, как величины высшего порядка малости.

Мы здесь не будем приводить решений частных задач; некоторые из них, относящиеся к родственной проблеме кручения, были даны в § 56. Отметим лишь, что много частных случаев рассмотрено в работах Лейбензона [17] и [55], а также в монографии В. С. Саркисяна [29]. Частный случай — «удлиненное сечение», когда ширина сечения значительно больше его высоты (или толщины) рассмотрен и в нашей книге [20].