§ 53. Упругое равновесие стержня эллиптического сечения под действием скручивающих и изгибающих моментов

Рассмотрим упругое равновесие цилиндра эллиптического сечения, обладающего прямолинейной анизотропией общего вида (21 или 18 упругих констант), у которого один торец закреплен, а на другом действуют усилия, приводящиеся к скручивающему моменту и к изгибающим моментам в плоскостях, проходящих через геометрическую ось и главные оси эллипса. Поместим начало координат в центре незакрепленного сечения, ось z направим по геометрической оси, а оси х и у — по главным осям эллипса (рис. 82). Введем обозначения: I — длина стержня, — длины главных полуосей эллипса, скручивающий момент, изгибающие моменты в главных плоскостях

Рис. 82.

Решение задачи о кручении ортотропного стержня было найдено Сен-Венаном [121]. Более общая задача о неортотропном однородном стержне, который скручивается, а кроме того, изгибается моментами, решена Фойгтом [38]. Мы остановимся на основных случаях равновесия, рассмотренных Фойгтом при различных комбинациях моментов.

1. Обобщенное кручение. Пусть действуют только скручивающие моменты а изгибающие отсутствуют Две функции напряжений удовлетворяют трем очень простым граничным условиям:

Решение также будет очень простым;

В этом случае

Жесткость при обобщенном кручении найдем по формуле

Функция напряжений и напряжения, выраженные через момент представятся таким образом:

Формулы (53.6) показывают, что при заданном моменте распределение напряжений не зависит от упругих

постоянных и совпадает с распределением в таком же изотропном теле. Общий характер напряженного состояния также будет таким же, как в изотропном теле (из шести составляющих напряжений четыре равны нулю). Жесткость будет такой же, как при кручении ортотропного тела, у которого главные модули сдвига равны

Перемещения, удовлетворяющие нужным условиям на закрепленном конце определятся по формулам:

Ось стержня изгибается под действием момента и принимает форму кривой:

Если имеются плоскости упругой симметрии, нормальные к оси, то ось останется прямолинейной; перемещения (53.7) также очень упрощаются.

2. Кручение, не сопровождающееся изгибом. Ось стержня остается прямолинейной даже в случае, когда анизотропия является общей, если к скручивающему моменту добавляются изгибающие, подобранные следующим образом:

В этом случае жесткость при обобщенном кручении равна С, т. е.

Касательные напряжения определяются по прежним формулам равны нулю, а в поперечных сечениях, кроме касательных, действуют еще нормальные напряжения:

3. Изгиб в главной плоскости, не сопровождающийся закручиванием. Для того чтобы моменты, скручивающие и изгибающие, приложенные на концах, вызывали только изгиб в плоскости без закручивания, их нужно подобрать так, чтобы между ними были зависимости (50.9). Эти зависимости для стержня эллиптического сечения принимают вид

Уравнение изогнутой оси (на плоскости будет

где В — жесткость при изгибе:

Очевидно, где жесткость при изгибе только изгибающими моментами Касательные напряжения в этом случае определятся по формулам (53.6). В поперечных сечениях появляются нормальные напряжения, равные:

Все формулы этого параграфа сохраняют свою силу и для случая стержня кругового сечения. В этом случае нужно всюду положить