§ 32. Некоторые случаи распределения напряжений в ортотропной пластинке с круговым отверстием

Приведем решения нескольких частных случаев плоской задачи однородного ортотропного тела для бесконечной плоскости с круговым вырезом, представляющим практический интерес. Для определенности мы рассматриваем пластинку, т. е. обобщенное плоское напряженное состояние, для которой и даем результаты вычислений (хотя все формулы с соответствующими изменениями остаются верными и для случаев плоской деформации). Все необходимое для решения рассмотренных задач имеется в § 30. Одна из плоскостей упругой симметрии параллельна срединной ху, оси х, у направлены нормально к остальным двум. Используем обозначения предыдущего § 31.

Всего рассмотрено шесть различных случаев упругого равновесия бесконечной пластинки с круговым отверстием; все они изложены в наших книгах [20] и [21]. Для каждого случая приводятся формулы для напряжений (Те

на радиальных площадках в любой точке и в наиболее важных точках контура отверстия. Для четырех случаев мы даем таблицы численных значений коэффициентов максимальных и минимальных напряжений для восьми материалов — четырех видов фанеры и четырех видов или марок стеклопластиков, упругие постоянные которых приведены в § 9, и графики распределения напряжений по контуру отверстия в пластинке из березовой фанеры и для сравнения — графики для изотропной пластинки, находящейся в тех же условиях. Отрезки, изображающие величины напряжений откладываются на продолжениях радиусов; положительные напряжения изображаются стрелками, направленными от центра к периферии, отрицательные — стрелками, направленными к центру. В правом верхнем углу изображаются схемы нагрузок. В остальных двух случаях мы ограничиваемся только некоторыми результатами для пластинки из березовой фанеры.

Все формулы для напряжений содержат множитель где модуль Юнга для направлений, касательных к контуру отверстия. Эти функции определяются по формулам:

Прежде всего, приведем таблицу 11 значений вещественных параметров кип для восьми анизотропных материалов, указанных в § 9, с тремя цифрами после запятой. Для каждого материала рассмотрены два случая: 1) направление оси совпадает направлением, длякоторого модуль Юнга наибольший и 2) направление х соответствуетнаправлению, для которого модуль Юнга наименьший Если обозначить параметры для первого случая через к и а для второго через к и

то легко показать, что

У изотропной среды, как было уже сказано,

Таблица 11 (см. скан) Вещественные параметры для анизотропных материалов

Как показывает таблица 11, отличие анизотропного материала от изотропного более всего для березовой фанеры и стеклопластика намоточного однонаправленного (особенно при Стеклопластики и по величине вещественных параметров сравнительно мало отличаются от изотропного материала.

Перейдем к рассмотрению частных случаев.

1. Нормальное давление, распределенное равномерно по краю отверстия (рис. 53).

Обозначив через давление на единицу площади, запишем выражение для напряжения (Те на радиальных площадках вблизи контура в виде произведения

Здесь безразмерная функция угла

отсчитываемого от оси х, и вещественных параметров кип:

Направление оси х соответствует направлению, для которого модуль Юнга наибольший

Рис. 53.

В изотропной пластинке его

В точках пересечения контура отверстия с главными осями упругости имеем

где

характеризуют концентрацию напряжений и их можно назвать коэффициентами концентрации. Значения коэффициента наименьшего напряжения и угла в первом квадранте, определяющего точку, где напряжение наименьшее (с точностью до 1°), приведены в таблице 12.

Таблица 12 (см. скан) Коэффициенты концентрации и коэффициенты наименьших напряжений для анизотропных материалов при равномерно распределенном давлении

Таблица показывает, что фанеры всех четырех марок ведут себя как материалы с сильно выраженной анизотропией, так как наибольшие напряжения и особенно наименьшие сильно отличаются от напряжения в изотропной пластинке, равного . У стеклопластиков это отличие значительно меньше, но следует отметить особенность намоточного однонаправленного стеклопластика, для которого качественная картина распределения напряжений отличается от таковой для остальных семи материалов: вблизи биссектрис углов между осями появляются на контуре участки, где напряжение 00 не растягивающее, а сжимающее.

Деформируясь под действием равномерно распределенных усилий край отверстия становится эллиптическим; величины главных полуосей эллипса равны

На рис. 53 показано распределение напряжений по краю отверстия в пластинке из березовой фанеры (сплошная линия) и в изотропной (пунктир). Графики рис. 53

весьма убедительно показывают, как влияет анизотропия на распределение напряжений.

2. Касательные усилия, распределенные равномерно по краю отверстия. Пусть по всему контуру распределены равномерно усилия эквивалентные моменту, вращающему против часовой стрелки. Напряжение вблизи края отверстия равно

где

В случае изотропной пластинки ; на радиальных площадках вблизи края отверстия действуют только касательные напряжения В случае же ортотропной пластинки напряжение во распределено по краю по довольно сложному закону — весь контур отверстия разбивается на восемь участков, где действуют попеременно растягивающие и сжимающие напряжения; в точках на границах участков Наибольшее напряжение сттах может превысить величину касательных усилий, вызвавших его. В частности, для пластинки из березовой фанеры наибольшее нормальное напряжение равно приблизительно

3. Растяжение под углом к главному направлению. Пусть пластинка с круговым отверстием растягивается усилиями (на единицу площади), приложенными на большом расстоянии от отверстия, равномерно распределенными и действующими под углом к главному направлению. Как обычно, рассматриваем пластинку как бесконечную и усилия относим на бесконечность (рис. 54).

В этом случае напряжение вблизи контура отверстия

где

В изотропной пластинке, работающей в тех же условиях,

Наибольшее напряжение в изотропной пластинке равно и получается на концах диаметра, перпендикулярного к растягивающим усилиям.

Рис. 54.

В ортотропной пластинке распределение напряжения по контуру отверстия не является симметричным относительно линии действия усилий; оно симметрично только относительно центра отверстия.

На рис. 54 показано распределение напряжения в пластинке из березовой фанеры, растягиваемой под углом 45 к одному из главных направлений упругости х. Наибольшее напряжение в фанерной пластинке, работающей в этих условиях, мало отличается от наибольшего напряжения в изотропной пластинке; оно равно ошак — Точки, где определяются углами 82°, 193° и 262°.

4. Растяжение в главном направлении. Пусть усилия направлены параллельно главному направлению упругости Тогда напряжение <Те У края отверстия определится по формуле (32.11), где

Распределение напряжений симметрично относительно главных направлений упругости. В точках на концах диаметра, параллельного усилиям, и в точках на концах диаметра, перпендикулярного к усилиям, имеем

Рис. 55.

Одно из этих значений будет наибольшим для всей пластинки, другое — наименьшим, причем в пластинке с сильно выраженной анизотропией наибольшим может оказаться не Безразмерные величины называют коэффициентами концентрации напряжений (растягивающего и сжимающего). В таблице 13 приведены значения для восьми ортотропных пластинок, рассмотренных выше, при растяжении в направлении большего модуля Юнга и меньшего модуля.

Как видно из таблицы, коэффициент концентрации растягивающих напряжений для всех восьми материалов получается больше, если пластинка растягивается в направлении наибольшего модуля Юнга, причем во всех случаях/в У четырех рассмотренных стеклопластиков коэффициенты концентрации растягивающих напряжений меньше, чем у четырех видов фанеры.

Таблица 13 (см. скан)

Коэффициенты концентрации напряжений для анизотропных материалов при растяжении в главном направлении

На рис. 55 даны графики распределения по краю отверстия в пластинке, изготовленной из березовой фанеры, при растяжении усилиями в направлении, для которого модуль Юнга наибольший (в направлении волокон рубашки). График напряжений при растяжении в направлении меньшего модуля Юнга мало отличается по характеру от представленного на рис. 55. Очевидно, что если нужно пластинку с круговым отверстием растягивать в главном направлении, то выгоднее это делать так, чтобы направления усилий были параллельны направлению, для которого модуль Юнга имеет наименьшее значение. Заметим, что при растяжении под углом 45° к главному направлению наибольшие растягивающие напряжения получились еще меньше ( В связи с этим намечается ряд задач об установлении оптимального направления усилий, при котором получается наименьшая из возможных для данной пластинки концентрация напряжений; этими вопросами мы здесь заниматься не будем.

5. Сдвиг усилиями, произвольно ориентированными по отношению к главным направлениям упругости. Пусть имеется прямоугольная пластинка с малым круговым

отверстием в центре, у которой одно из главных направлений упругости образует углы со сторонами. По краям распределены равномерно уравновешенные касательные усилия интенсивности действующие, следовательно, под углами с главными направлениями; контур отверстия не загружен и не закреплен.

Рассматриваем пластинку как бесконечную, и относим усилия на бесконечность. В этом случае вблизи контура

где

Для изотропной пластинки

В частности, если усилия действуют под углами 45 и 135° к главным направлениям, то формула (32.17) принимает вид

В этом случае наибольшее напряжение в ортотропной пластинке должно получиться в точках пересечения главных направлений с окружностью — и 5, для которых

В таблице 14 приведены значения коэффициентов концентрации напряжений для восьми ортотропных материалов. Ось х совпадает с направлением, для которого модуль Юнга наибольший. Там же дается угол в первом квадранте, определяющий точку, где

Здесь также наибольшая концентрация напряжений получается в пластинке из березовой фанеры; график распределения напряжений в такой пластинке показан на рис. 56.

6. Сдвиг усилиями, параллельными главным направлениям. Предположим, что прямоугольная пластинка с отверстием вырезана из ортотропного листа так, что стороны

Таблица 14 (см. скан) Коэффициенты концентрации напряжений при сдвиге под углом 45°

ее параллельны главным направлениям упругости и по этим сторонам равномерно распределены касательные усилия интенсивности

Рис. 56.

Полагая пластинку бесконечной и относя усилия на бесконечность, получим, полагая

Очевидно, что напряжение принимает значение, равное нулю, в четырех точках окружности и в каких-то симметричных точках четырех квадрантов достигает наибольшего по величине значения:

Коэффициент концентрации для изотропной пластинки равен четырем, а для восьми ортотропных материалов найдется из таблицы 15, где указаны также углы а в первом квадранте, которым соответствуют наибольшие по величине напряжения (с точностью до 1°).

Таблица 15 (см. скан) Коэффициенты концентрации при сдвиге усилиями, параллельными главным направлениям

Ось х параллельна направлению наибольшего

В противоположность случаю 5 здесь коэффициенты концентрации незначительно отличаются от коэффициента для изотропной пластинки Наибольшим из восьми коэффициентов получается для намоточного однонаправленного стеклопластика и далее — для березовой фанеры. Заслуживает внимания то обстоятельство, что для семи материалов из восьми коэффициент получается меньше коэффициента концентрации для

изотропной пластинки. Отсюда следует очевидный вывод: вырезать пластинку нужно так, чтобы касательные усилия были параллельны главным направлениям упругости.

На рис. 57 показан график распределения напряжений в пластинке из березовой фанеры.

Рис. 57.

Приведенные выше формулы для напряжения сто вблизи края отверстия показывают, что это напряжение определяется с помощью различных комбинаций двух независимых параметров кип. Первый выражается через отношение главных модулей Юнга, а второй зависит также от модуля сдвига и играет большую роль в определении концентрации напряжений. Для данной пластинки может оказаться, что главные модули Юнга равны и тем не менее, благодаря модулю сдвига параметр значительно отличается от двух, что и вызывает в любом рассмотренном случаеочень большую концентрацию

напряжений. Следовательно, анизотропия однородного анизотропного тела, работающего в условиях плоской задачи, характеризуется не одним, а двумя параметрами или показателями анизотропии. Правда, пара чисел еще не позволяет дать количественную оценку степени анизотропии, так как может случиться, что напряжения в анизотропном теле окажутся по величине точно такими же, как и в изотропном, несмотря на то, что к и значительно отличаются от единицы и двух (например, в случаях растяжения, сдвига и чистого изгиба пластинки без отверстия). Поэтому желательно выбрать показатели анизотропии так, чтобы они давали возможность оценивать степень или интенсивность анизотропии разных тел. Здесь возможен различный выбор параметров или показателей анизотропии.

Говоря только о плоской задаче для однородного прямолинейно-анизотропного тела, можно исходить из простейшего случая упругого равновесия бесконечной пластинки с отверстием — одностороннего растяжения. Примем за первый показатель анизотропии отношение наибольшего нормального напряжения, возможного для пластинки с круговым отверстием, к наибольшему напряжению в изотропной пластинке, работающей в тех же условиях. За второй показатель примем отношение наименьшего напряжения в указанной анизотропной пластинке к наименьшему напряжению в изотропной пластинке.

Если анизотропная пластинка с круговым отверстием растягивается под углом к фиксированной оси х, то напряжение на контуре отверстия представится формулой

Если менять угол то будут меняться как максимальное, так и минимальное напряжения (см. рис. 54 и 55) и при некоторых значениях они достигнут наибольшего и наименьшего из всех возможных для данной пластинки значений. Показатели анизотропии определятся по формулам

В частности, для ортотропной пластинки

причем эти максимальное и минимальное значения достигаются, когда пластинка растягивается в направлении х, для которого модуль Юнга наибольший.

Для березовой фанеры получаем

Для стеклопластика

Для изотропного тела Березовую фанеру и указанный стеклопластик следует признать материалами с достаточно сильно выраженной анизотропией.

Выражение коэффициента для неортотропной пластинки, растягиваемой под углом к оси х, можно получить на основании данных § 30 и мы его приводить не будем.

Заметим, что в других случаях упругого равновесия (кручение, изгиб, деформации тел вращения и т. д.) показатели анизотропии должны быть выбраны иначе, но мы этого вопроса рассматривать не будем.