§ 37. Растяжение и изгиб моментами прямоугольной пластинки

Задача о растяжении осевой силой и изгибе моментами однородного стержня с прямолинейной анизотропией имеет совершенно элементарное решение Но эта же задача может значительно усложниться, если стержень

является непрерывно-неоднородным. Рассмотрим вкратце один из простейших случаев неоднородного стержня.

Пусть имеется стержень в виде прямоугольной пластинки с сечением в виде узкого прямоугольника, упругий и непрерывно-неоднородный, у которого длинные стороны свободны от усилий и закреплений, а короткие (торцы) нагружены одинаковыми усилиями, приводящимися к осевой силе и моменту действующими в срединной плоскости, принимаемой за плоскость

Рис. 66.

Будем считать стержень ортотропным, с упругими характеристиками, не меняющимися по толщине; один торец предполагаем закрепленным (рис. 66).

Длину, толщину и высоту обозначаем через силу и момент относим к единице толщины. В рассматриваемом случае можно считать, что напряженное состояние — обобщенное плоское; черточки над составляющими напряжений и перемещений, обозначающие осреднение по толщине, будем всюду отбрасывать.

Предположим, что в неоднородном стержне, так же как и в однородном, только одна составляющая не равна нулю, будет функцией только у. Уравнения обобщенного закона Гука дают три уравнения для средних перемещений и напряжений:

Из первых двух следует

Третье уравнение, после дифференцирования по х и у, дает уравнение, связывающее модуль Юнга, коэффициент Пуассона и напряжение

Если условие (37.3) выполнено, то распределение напряжений будет одноосным Если заданы (другие упругие характеристики — и т. д. могут быть какими угодно), то напряжение определится из уравнения (37.3); последнее может быть проинтегрировано в общем виде только при частных заданиях упругих характеристик (например, если функции только

Исследуем случай, когда и модуль Юнга и коэффициент Пуассона являются произведениями функций только х на функции только

Подставляя в (37.3) и разделяя переменные, получим два уравнения:

Здесь любое постоянное вещественное, чисто мнимое число или нуль. Обозначим линейно-независимые решения уравнения (37.5), то же для (37.6) и выпишем окончательные результаты (см. [68]).

1. Выражение для модуля имеет структуру:

где произвольная функция у и произвольные постоянные. Эти три произвольные величины — переменная и две постоянные разумеется, имеют физический смысл только тогда, когда Кроме того,

на функцию должны быть наложены некоторые ограничения, так как она входит в уравнение (37.6).

2. Произведение функций должно быть положительным и меньшим единицы, а в остальном эти функции могут быть произвольными [если не считать ограничений, связанных с тем, что они входят в состав уравнений (37.5) и (37.6)].

3. Напряжение определяется по формуле

Постоянные найдутся из условий на нагруженном торце и в любом поперечном сечении:

Отсюда получаем систему двух уравнений для А и В:

4. Перемещения найдутся по формулам (37.2), которые после подстановки примут такой вид:

постоянные со, определятся из условий закрепления элемента оси стержня на торце

Случай также является одним из возможных; ему соответствуют модуль и напряжение:

Наконец, заметим, что при постоянном коэффициенте Пуассона вещественном, не равном нулю, формулы (37.7) и (37.8) принимают вид

Если число мнимое, то гиперболические косинус и синус должны быть заменены косинусом и синусом.

Мы привели здесь решение только одной простейшей задачи об упругом равновесии неоднородной плоской балки-полосы. Большое число задач для балок, нагруженных различными усилиями, решено Г. Б. Колчиным, который получил распределения напряжений, применяя разные методы, и сделал ряд выводов, интересных и важных для практики. Решения Г. Б. Колчина изложены в его работе [13] и других (см. также Библиографический указатель [14]).