§ 3. Обобщенный закон Гука

Приведенные ранее формулы и уравнения верны для любой сплошной среды, независимо от ее физических свойств. Переходя к упругому телу, мы должны выбрать модель, отражающую упругие свойства, и получить, в дополнение к уравнениям §§ 1 и 2, зависимости между составляющими деформации и составляющими напряжений. Так как мы рассматриваем только малые деформации, то примем за упомянутую модель — сплошное тело, следующее обобщенному закону Гука. Иначе говоря, мы будем рассматривать только такие среды и тела, в которых составляющие деформации являются линейными функциями составляющих напряжений. Эти функции должны быть однородными, так как предполагается, что при отсутствии напряжений составляющие деформации также равны нулю, и наоборот: если то и

Тела, подчиняющиеся обобщенному закону Гука, могут быть различными, а поэтому следует дать их классификацию, отражающую хотя бы приближенно их особенности. В отношении упругих свойств все тела можно разделить, с одной стороны, на однородные и неоднородные, и с другой стороны, на изотропные и анизотропные. Под однородным в отношении упругих свойств будем подразумевать тело, у которого упругие свойства одинаковы в разных его точках;

неоднородным назовем тело с упругими свойствами, различными в разных точках. Если упругие характеристики, например, модули упругости (см. ниже), меняются при переходе от точки к точке непрерывно, то и неоднородность можно назвать «непрерывной»; если же упругие характеристики при переходе от точки к точке испытывают разрывы непрерывности, например, меняются скачками, то неоднородность мы будем называть «прерывной» или «дискретной». Скачкообразное изменение имеет место в телах, составленных из нескольких частей с различными упругими свойствами (из различных материалов).

Изотропным в отношении упругих свойств называется тело, у которого эти свойства (упругое сопротивление) одинаковы для всех направлений, проведенных через данную точку; анизотропным называется тело с упругими свойствами, вообще различными для разных направлений, проведенных через данную точку. Направления, для которых упругие свойства (упругое сопротивление) одинаковы, называют упруго-эквивалентными. У изотропного тела упруго-эквивалентными являются все направления, проведенные через данную точку, а у анизотропного — не все, а только некоторые. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным. Заметим еще, что в разных средах можно различить два основных типа анизотропии:

1) прямолинейную и 2) криволинейную. О прямолинейной анизотропии будет сказано уже в этом параграфе, а о криволинейной — ниже, в § 10.

В общем случае анизотропии каждая составляющая деформации является линейной функцией всех шести составляющих напряжений. Рассмотрим однородное тело, обладающее анизотропией самого общего вида. Отнеся его к декартовой системе координат, положение которой пока уточнять не будем, запишем уравнения обобщенного закона Гука для этой системы (с очевидными сокращениями):

В общем случае (3.1) уравнения содержат 36 коэффициентов но в действительности их всегда меньше, как это будет показано далее.

Предположим, что определитель шестого порядка из коэффициентов записанных по порядку, не равен нулю, а следовательно, уравнения (3.1) разрешимы относительно а и Получим уравнения обобщенного закона Гука для общего случая в другой, эквивалентной форме:

Пусть тело, для которого верны уравнения (3.1) и (3.2), растягивается постоянными усилиями параллельными одной из осей координат, например, оси х. Тогда а остальные пять составляющих напряжений равны нулю. Из уравнений (3.1) находим составляющие деформации, постоянные для любой точки:

Очевидно, что малые отрезки, проходящие через разные точки и параллельные оси х, удлиняются одинаково, и вообще все отрезки, параллельные одному и тому же направлению проведенные через разные точки, испытывают одинаковые удлинения (зависящие от констант и пропорциональные Это дает основание называть анизотропию рассматриваемого однородного тела — прямолинейной, а само тело — прямолинейно-анизотропным. У такого тела все параллельные направления являются упруго-эквивалентными. Из формул (3.3) следует, что элементы одинаковых размеров в виде прямоугольных параллелепипедов с соответственно параллельными сторонами при простом (или двух- и трехстороннем) растяжении деформируются одинаково, независимо от того, где они выделены, но превращаются, вообще говоря, в косоугольные параллелепипеды, не имеющие ни одного прямого угла между гранями.

Заметим, что условно, исключительно для простоты изложения, мы можем называть «прямолинейно-анизотропным» и неоднородное тело, если уравнения обобщенного закона Гука для него задаются в декартовой системе координат заданные функции

Вернемся к однородному телу. В однородном теле коэффициенты из уравнений (3.1) и (3.2) будем называть упругими постоянными. В неоднородном теле, когда эти коэффициенты — функции координат, мы будем называть их упругими характеристиками. Рассматривая и раздельно, мы, следуя Бехтереву, будем называть коэффициентами деформации, а модулями упругости [8, 48]. В литературе существует еще ряд названий и обозначений для этих величин. Например, в книге Фойгта [38] вместо и А и употребляются обозначения А. К. Малмейстер вместо коэффициентов деформации и модулей упругости использует термины «константы податливости» и «константы упругости» гл. II, § 21).

Уравнения (3.1) и (3.2) показывают, что в каждом теле число упругих постоянных равно 36. На самом деле это не так даже в самом общем случаеесли существует упругий потенциал (что мы всегда и будем предполагать), равный потенциальной энергии деформации, отнесенной к единице объема. Это имеет место, когда изменения тела при деформировании происходят изотермически или адиабатически. Рассматривая только вопросы равновесия, мы будем полагать, что изменения при деформации происходят изотермически, т. е. температура каждого элемента остается постоянной. В уравнениях (3.1) и (3.2) под будем подразумевать изотермические упругие постоянные, которые вообще отличаются от адиабатических (см. [17], стр. 66—67, или [24], стр. 106; см. также [20], гл. 1, § 2).

В этом случае имеют место равенства:

Продифференцируем составляющие напряжения по составляющим деформации:

Из равенств (3.5) и (3.2) следует

и вообще

Решив уравнения (3.2) относительно 8 и у, мы получим шесть выражений для 8 и 7, у которых коэффициенты правых частей также будут симметричны:

Теперь мы можем записать уравнения обобщенного закона Гука в общем случае так:

или так:

Интегрируя шесть уравнений (3.4), мы получим выражение упругого потенциала в виде однородной квадратичной функции деформаций:

Разбивая (3.10) на шесть групп по шесть слагаемых

и подставляя выражения мы получим очень простую и удобозапоминаемую формулу для упругого потенциала:

Если подставить в эту формулу выражения для составляющих деформации (3.8), то мы получим V как однородную квадратичную функцию напряжений. Выражение для V построено так же, как и (3.10), только вместо будут с соответствующими индексами и вместо коэффициенты деформации

В общем случае анизотропии число упругих постоянных Равно 21, однако из них независимых постоянных меньше. Как сказано в книге В. В. Новожилова «Теория упругости»: «С точки зрения геометрической все системы координат равноценны, тем не менее с точки зрения упругих и вообще физических свойств даже в наиболее общем случае может быть подмечена некоторая симметрия». Следовательно, число независимых упругих констант равно даже в самом общем случае не 21, а меньше курсе В. В. Новожилова (§ 19 и 20) рекомендуется при исследовании напряжений пользоваться так называемыми инвариантными константами и указывается, как их определять по константам отнесенным к произвольной системе координат. В дальнейшем мы этот вопрос подробно разбирать не будем, а будем в каждом случае считать, что дана система координат (или криволинейная) и отнесенные к ней константы и Впрочем, для тел с развитой упругой симметрией можно сразу же указать оси, для которых константы будут

инвариантными (например, для ортотропного и трансверсально-изотропного тела; см. § 4).

В уравнениях обобщенного закона Гука (3.8) и (3.9) упругие константы (или характеристики) занимают неодинаковое положение и следует их как-то классифицировать. Один изпринципов классификации в общем случае предложен Бехтеревым, разбившим все коэффициенты (и соответственно А и) на шесть групп [8]. В этой работе весьма обстоятельно исследуются (теоретическим путем) уравнения обобщенного закона Гука.

Другие авторы, как, например, Н. Г. Ченцов [100], Я. И. Секерж-Зенькович [92], в частных случаях анизотропии вместо постоянных и А и вводят так называемые «технические константы» — модули Юнга и сдвига, коэффициенты Пуассона и другие. Рабинович предложил развернутую систему технических констант и для самого общего случая однородного анизотропного тела [85]. Пусть тело отнесено к какой-то фиксированной системе координат. Тогда, вводя вместо новые обозначения, мы можем, следуя Рабиновичу, записать уравнения (3.8) таким образом:

Здесь модули Юнга при растяжении — сжатии в направлениях осей модули сдвига для плоскостей, параллельных координатным; коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в направлении одной оси при растяжении в направлении другой (например, коэффициент, характеризующий сокращение в направлении оси х при растяжении в направлении оси Эти постоянные соответствуют хорошо известным модулю Юнга, сдвига и коэффициенту Пуассона для изотропного тела. Остальные постоянные являются новыми для упругого тела и у изотропного тела равны нулю.

Коэффициенты названы коэффициентами Ченцова; они характеризуют сдвиги в плоскостях, параллельных координатным, вызванные касательныминапряжениями, действующими в других плоскостях, параллельных координатным. Постоянные по A. Л. Рабиновичу, — коэффициенты взаимного влияния первого рода; они характеризуют удлинения в направлениях осей координат, вызванные касательными напряжениями, действующими в координатных плоскостях. Наконец, выражают сдвиги в координатных плоскостях от нормальных напряжений, геттствующих в направлении осей координат; они названы коэффициентами взаимного влияния второго рода.

Все уравнения (3.14) записаны только для данной системы координат; для других систем значения коэффициентов изменяются, но общее число независимых упругих постоянных по-прежнему будет равно 18.

Решая конкретные задачи, мы будем пользоваться в основном обозначениями «технические константы» будем вводить в случаях, когда тело обладает хорошо развитой упругой симметрией, т. е. является ортотропным или трансверсально-изотропным.

Наконец, отметим, что, изменяя обозначения упругих постоянных и составляющих напряжений, мы можем

записать уравнения обобщенного закона Гука чрезвычайно просто. Обозначим упругие постоянные буквой а (или соответственно А) не с двумя, а с четырьмя индексами, положив:

1) , если 3 (всевозможные случаи, когда не исключаются);

2) , если какой-нибудь из двух индексов, или равен 4, 5, 6 и

3) , если оба индекса .

Тогда шесть уравнений (3.8) запишутся в виде одного

Знаки, обозначающие суммирование в каждом из шести равенств (3.15) по к и по в такой системе записи обычно отбрасываются. Число всех констант с четырьмя индексами равно 81, но, группируясь, они сводятся к константам, число которых равно 21 (из них независимых 18). Уравнения обобщенного закона Гука, решенные относительно составляющих напряжения, имеют вид

Впрочем, обозначениями упругих постоянных с помощью букв а и А с четырьмя индексами и уравнениями (3.15), (3.16) мы воспользуемся на протяжении данной книги только еще один раз, в § 5. Поэтому развивать этот вопрос подробно мы не будем, а отошлем интересующихся к книге А. К. Малмейстера, В. П. Тамужа и Г. А. Тетерса [25] (гл. II, § 21).