§ 60. Кручение цилиндрического или призматического стержня, обладающего цилиндрической анизотропией

Пусть имеется цилиндрический или призматический стержень произвольного сечения, обладающий цилиндрической анизотропией, с осью анизотропии, параллельной образующей. Боковая поверхность свободна от внешних усилий и закреплений, объемных сил нет, а по торцам распределены усилия, приводящиеся к скручивающим моментам противоположного направления.

Мы рассмотрим чистое кручение непрерывно-неоднородного стержня, у которого в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к образующей, а коэффициенты по длине не меняются. Уравнения теории кручения мы выведем не пользуясь материалом главы 3, а непосредственно. Предположим, что только две составляющие напряжения не равны нулю и не зависят от продольной координаты z, а остальные четыре равны нулю. Приняв какую-нибудь точку на торце за начало координат и направив ось z параллельно образующей цилиндра, запишем основную систему уравнений в цилиндрических координатах следующим образом:

Далее из уравнений (60.2) определяем перемещения, используя их в обычном порядке: 3, 4, 5—1, 2, 6. В результате получим следующие формулы для перемещений:

Здесь «жесткие» перемещения, зависящие

от шести постоянных — вращений и трех поступательных перемещений относительный угол закручивания (крутка) и гак называемая функция кручения. Неизвестные функции переменных два напряжения и функция кручения — удовлетворяют уравнениям

и уравнению равновесия сплошной среды (60.1).

Заметим, что в состав уравнений (60.4) входят только три коэффициента деформации — а прочие коэффициенты могут быть любыми (по крайней мере непрерывными) функциями всех трех переменных На боковой поверхности напряжения должны удовлетворять условию

а на торцах — также по одному условию:

(на разных торцах моменты имеют противоположные направления вращения). Из уравнения (60.6) определится крутка или жесткость, так как .

Так же как в случае прямолинейно-анизотропного стержня, можно предложить два способа решения задачи о кручении, в зависимости от того, что принять за основную неизвестную функцию.

Способ 1. За неизвестную функцию примем функцию напряжений при кручении

Исключая из (60.4), получим уравнение

На контуре поперечного сечения

В случае односвязной области, когда можно принять жесткость определится по формуле

В частности, для ортотропного стержня с плоскостями упругой симметрии, направленными нормально к координатным направлениям вместо (60.8) будем иметь

где модули сдвига для плоскостей, проходящих через ось z, параллельную оси анизотропии, и параллельных z. Для однородного ортотропного стержня (60.11) принимает вид

Способ 2. За неизвестную функцию берется функция кручения через которую нужно выразить напряжения и затем найти ее на основании условия на контуре сечения (60.5).

Имеем

где А и — коэффициенты, которые мы получим, решив уравнения (60.4) относительно составляющих напряжений. Подставляя (60.14) в (60.1), получим уравнение для В частности, для однородного тела оно будет ъметь вид:

Второй способ менее удобен, так как граничное условие получается сложнее условия (60.9). Это же самсе наблюдалось и в случае прямолинейно-анизотропного тела (§ 51).