§ 30. Распределение напряжений в упругом однородном пространстве с полостью в виде эллиптического цилиндра

Рассмотрим бесконечное упругое пространство, заполненное однородным материалом с анизотропией общего вида, имеющее полость в виде бесконечного цилиндра эллиптического сечения. Пусть по поверхности полости распределены усилия, нормальные к образующей цилиндра и не меняющиеся вдоль образующей, а объемные силы отсутствуют.

Рис. 40.

Отнесем тело к системе координат у которой начало помещено в центре какого-нибудь поперечного сечения полости, ось z направлена вдоль ее оси и оси х, у по главным осям эллипса (рис. 40).

Обозначим через проекции внешних усилий, отнесенных к единице площади. В общем случае эти усилия приведутся к главному вектору с проекциями и к главному моменту (на единицу длины образующей).

В сечении плоскостью ху мы имеем область в виде бесконечной плоскости с эллиптическим вырезом; уравнение контура ее имеет вид

или

главные оси эллипса, О — параметр, меняющийся при полном обходе по контуру от 0 до Области также будут плоскостями с эллиптическими вырезами, контуры которых представятся уравнениями

Усилия будут функциями параметра О, периодическими с периодом мы будем считать их представленными рядами Фурье по При заданных усилиях граничные условия будут содержать интегралы по дуге от куда войдут периодические функции и члены, пропорциональные Представляя тригонометрические ряды в комплексной форме, запишем условия для функций таким образом:

и сопряженные величины — известные постоянные; произвольные постоянные, которые в рассматриваемом случае можно положить равными нулю. На бесконечности напряжения должны равняться нулю, а для этого необходимо, чтобы производные стремились к нулю при

Задача решается следующим образом. Отобразим все четыре области на внешность единичного круга В данном случае, когда области являются внешностями эллипсов, находящихся в аффинном соответствии, указанное отображение можно осуществить так, что четырем точкам на контурах областей отвечает одна и та же точка на контуре единичного круга и это свойство сохраняется для любого значения

На основании этого свойства мы можем решать самые разнообразные задачи для бесконечной плоскости с эллиптическим вырезом — как первую основную задачу, так и вторую, как задачу об обобщенной плоской деформации, так и плоскую задачу.

Отобразим конформно области на внешность единичного круга. Отображающие функции имеют вид

Функции, обратные (30.5) — (30.6), будут:

Когда х и у пробегают по контуру эллипса принимая значения (30.2), тогда (307) и (30.8) принимают значение

Будем искать выражения для в виде

Коэффициенты определим из граничных условий из граничных условий и условий однозначности перемещений (каждое из перемещений должно быть однозначной, или, что то же, периодической функцией ). Получаем окончательные выражения:

Здесь

коэффициенты, которые найдутся из уравнений

В этих уравнениях янные, входящие в формулы для перемещений [см. (21.5) — (21.7)],

— сопряженные величины. Выражений для коэффициентов ввиду их громоздкости мы приводить не будем, а укажем только, что если главный вектор усилий равен нулю, то и все эти коэффициенты равны нулю:

Производные функций определятся по формулам:

При наличии плоскостей упругой симметрии, нормальных к образующей, тело будет испытывать плоскую

деформацию и мы получим вместо (30.11)

После несложных преобразований получаем уравнения для коэффициентов и сопряженных:

Определитель этой системы равен:

При неравных комплексных параметрах всегда а следовательно, коэффициенты -42 и сопряженные определятся из системы (30.16) однозначно. При попарно равных параметрах но тогда и уравнения (30.16) теряют смысл, так как при решении задачи нужно исходить из выражения для функции не в форме (26.4), а в форме (26.6). На этом случае мы останавливаться не будем.

Приводим значения коэффициентов для нескольких частных случаев нагрузки. Во всех случаях а каждая функция представляется только одним членом ряда (см. [20], гл. 3).

1. Нормальное давление, распределенное равномерно по поверхности полости (рис. 41):

давление на единицу площади).

Рис. 41.

Рис. 42.

2. Касательные усилия, распределенные равномерно по поверхности полости и действующие в плоскостях, -раллельных ху (рис. 42):

усилие на единицу площади).

В следующих трех случаях, когда поверхность полости не нагружена, а усилия приложены на большом расстоянии от нее (в теории — на бесконечности) составляющие напряжения определятся по формулам:

Рис. 43.

Первые слагаемые (с нуликами) — напряжения, вызванные теми же усилиями в пространстве сплошном, без полости; вторые слагаемые (со штрихами) — напряжения, определяемые функциями (30.11) или (30.15) (во всех этих случаях

3. Растяжение. На большом расстоянии от полости действуют растягивающие усилия, направленные под углом к оси эллипса 2а (рис. 43).

В этом случае:

растягивающее усилие на единицу площади, или

В частности, при растяжении в направлении оси длиной

4. Сдвиг. На большом расстоянии от полости действуют касательные усилия, параллельные главным осям эллипса (рис. 44):

Рис. 44.

Здесь усилие на единицу площади.

5. Чистый изгиб. На большом расстоянии от полости приложены нормальные усилия, меняющиеся по

линейному закону (рис. 4):

Вторая основная задача может быть решена тем же методом, что и первая, с помощью функций вида 30.11).

Рис. 45.

Для определенности необходимо задать главный вектор усилий Постоянные определятся из уравнений (30.13), а в случае плоской задачи — из (30.16); постоянные Акт — из граничных условий.