§ 64. Изгиб однородной прямолинейно-анизотропной консоли поперечной силой

Если у консоли плоскость поперечного сечения является плоскостью упругой симметрии, то задача изгиба ее поперечной силой значительно упрощается. Значительно упростится картина напряженно-деформированного состояния и, по существу, будет мало отличаться от таковой в изотропной консоли; упрощаются и все общие уравнения и методы их решения. В противоположность консоли с анизотропией общего вида, в данном частном случае напряженно-деформированное состояние можно назвать «изгибом консоли поперечной силой» или «простым изгибом поперечной силой». Задача об изгибе консоли изотропной и обладающей анизотропией частного вида была изучена Сен-Венаном [122]. Дальнейшие исследования этого вопроса имеются в работах Л. С. Лейбензона [17] и [19] и др.

В данном случае ряд постоянных (коэффициентов деформации равен нулю:

Всем уравнениям (62.10), (62.11) и (62.14) мы удовлетворим, положив

Получим

где, как и раньше, частное решение уравнения равновесия сплошной среды

которое в зависимости от вида сечения можно взять в форме (63.7) или иначе. Функцию будем называть функцией напряжений при изгибе (поперечной силой).

На контуре поперечного сечения должно быть выполнено условие третье из (62.15)

(в случае односвязной области сечения можно принять Кроме того, должны быть выполнены условия на торцах, которые сводятся к одному:

оно послужит для определения постоянной крутки.

Перемещения удовлетворяют условию на закрепленном торце, где мы условимся считать неподвижным линейный элемент, проходящий через центр тяжести. Эти условия имеют вид: при

Удовлетворив этим условиям, получим:

Функция определится из уравнений:

Отсюда на основании (64.4) получаем уравнение для

В этом случае выражаются через одну функцию комплексного переменного где и сопряженная величина корни уравнения

которые всегда получаются комплексными или чисто мнимыми (см. § 20). Из третьей формулы (63.2), в которой в данном случае — следует

где частное решение уравнения (64.11). Выражения для напряжений имеют вид (см. (64.4))

Задача сводится к определению комплексного потенциала в области полученной из области поперечного сечения путем аффинного преобразования

Условия для на контуре области запишется в виде

Здесь за основную неизвестную функцию принята функция напряжений при изгибе Так же как в теории

кручения, можно было бы за основную принять функцию для нее также получилось уравнение второго порядка (не совпадающее с и граничное условие. Но этот способ решения менее удобен, а поэтому мы в дальнейшем будем предпочитать первый, т. е. будем иметь дело с функцией напряжений

Задача еще более упрощается в случае, когда материал консоли является ортотропным или изотропным. В случае ортотропной консоли, у которой одна из трех плоскостей упругой симметрии совпадает с плоскостью поперечного сечения, а сила действует во второй плоскости упругой симметрии удобнее ввести технические упругие постоянные, положив и обозначив

Тогда для вместо (64.11) получим уравнение:

и граничное условие Частное решение взято в форме (63.7). Перемещения определятся по формулам:

В некоторых случаях изгиба ортотропной консоли (особенно при исследовании приближенными методами) бывает удобно разбить функцию на три слагаемых:

где функция, соответствующая кручению (пропорциональная в теории кручения), удовлетворяющая

уравнению

так называемая функция изгиба, удовлетворяющая неоднородному уравнению

Введя новые функции, можем записать общие формулы для напряжений таким образом:

Для изотропного тела

и уравнения (64.18), (64.21) и (64.22) принимают такой вид:

Изгибающая сила, проходящая через центр тяжести торца и действующая в главной плоскости, не совпадающей с плоскостью упругой симметрии, вызывает не только изгиб в главной плоскости, но и закручивание вокруг оси z, которое характеризуется постоянной Закручивания можно избежать, если направить силу эксцентрично по отношению к центру тяжести. Для сечения произвольной формы всегда существует точка С, обладающая следующим свойством: любая поперечная сила, у которой линия действия проходит через С, вызывает изгиб в главных

плоскостях, не сопровождающийся закручиванием. Эта точка носит название центра изгиба стр. 196).

Если поперечная сила направлена по оси геометрической симметрии, совпадающей с осью упругой симметрии, то можно заранее положить