§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций)

Как мы видели, производная от вектора

по определению равна

Отсюда сразу следует, что основные правила дифференцирования функций остаются в силе и для векторов. Мы выведем ниже некоторые формулы дифференцирования функций от векторов. Эти формулы нам потребуются в дальнейшем.

I. Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов.

В самом деле, пусть, например, даны два вектора:

их сумма равна

По определению производной от переменного вектора имеем

или

Следовательно,

II. Производная от скалярного произведения векторов выражается формулой

Действительно, если определены формулами (3), то, как известно, скалярное произведение этих векторов равно

Поэтому

Теорема доказана.

Из формулы (II) получается важное следствие.

Следствие. Если вектор единичный, т. е. то его производная есть вектор, к нему перпендикулярный.

Доказательство. Если — единичный вектор, то Возьмем производную по i от обеих частей последнего равенства: или т. е. скалярное произведение а это и означает, что вектор перпендикулярен к вектору е.

III. Если f(t) - скалярная функция и векторнаяфункция, то производная от произведения выражается формулой

Доказательство. Если вектор определен формулой (1), то

По формуле (2) получаем

IV. Постоянный числовой множитель можно вынести за знак производной:

Это следует из III, если Следовательно,

V. Производная векторного произведения векторов определяется формулой

Доказывается аналогично формуле (II).