§ 12.2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Назначением экстремальной системы является автоматическое отыскание регулирующих (управляющих) воздействий, соответствующих оптимальному (экстремальному) значению показателя качества при неконтролируемом изменении характеристик системы и внешних условий, влияющих на положение экстремальной точки показателя качества.

Рис. 12.2. Общая схема экстремальной системы О — объект; ЧЭ — чувствительный элемент; УФ — устройство формирования показателя качества; ИЭ — исполнительный элемент; УАП — устройство автоматического поиска экстремума; ЭР — экстремальный регулятор

В экстремальной системе соответствующая перестройка входных воздействий производится путем анализа результатов пробных движений (колебаний), в процессе которых изучается тенденция изменения показателя качества системы. Можно говорить, что в экстремальной системе существует своеобразная обратная связь по показателю качества. На рис. 12.2 представлена принципиальная схема экстремальной системы. Особенностью ее является наличие устройства автоматического поиска экстремума УАП, которое производит анализ показателя качества и через исполнительный элемент ИЭ подает на вход объекта управляющее воздействие такое, чтобы характеристика получила экстремальное значение

В экстремальной системе устройство поиска экстремума выполняет роль анализатора и синтезатора.

Экстремальный регулятор целесообразно использовать только тогда, когда функция характеризующая показатель качества, является «плавающей» (рис. 12.3), т. е. как сама величина так и

соответствующее ей значение существенно меняются неконтролируемым образом.

Обычно показатель качества зависит от нескольких регулирующих воздействий, т. е. В точке экстремума

или

где — базисные векторы.

Рис. 12.3. Экстремальные характеристики

Таким образом, экстремальная система должна обеспечить движение рабочей точки по поверхности в пространстве до точки, где Для осуществления такого движения необходимо, во-первых, определить градиент и, во-вторых, в соответствии со значением градиента организовать движение к точке экстремума.

Рис. 12.4. Синхронное детектирование

Первая задача — определение градиента — может решаться несколькими способами, наиболее распространенными из которых являются способы синхронного детектирования, непосредственного измерения производной и запоминания и удержания экстремума.

Способ синхронного детектирования основан на том (рис. 12.4), что для ориентации рабочей точки относительно экстремума

показателя качества к основным медленно меняющимся входным сигналам добавляются малые гармонические (обычно периодические) составляющие. Синхронные детекторы выполняют операцию умножения функции на соответствующие гармонические составляющие и операцию усреднения во времени этих произведений. В результате на выходах синхронных детекторов получаются величины, пропорциональные с точностью до малых высших порядков составляющим градиента в точке

Действительно, разложим функцию в окрестности точки в ряд Тейлора:

После умножения выражения (12.1) на и усреднения получим

Если учесть, что при медленном изменении справедливы соотношения:

то выражение (12.2) можно привести к виду

где погрешность, имеющая больший, чем первое слагаемое, порядок малости.

В результате на выходах синхронных детекторов получаются сигналы

Способ непосредственного измерения производной предполагает дифференцирование функции по времени. Для производной, имеем

Допустим, что имеется возможность задавать поочередно величины [V При этом

откуда определяются искомые составляющие градиента.

В соответствии со способом запоминания и удержания экстремума система совершает поисковые колебания в районе экстремума. При достижении экстремума в запоминающем устройстве регулятора фиксируется экстремальное значение показателя качества Сигнал, пропорциональный величине градиента, определяется по разности запомненного и текущего значений функции Данный способ непосредственно применим только в случае одного воздействия Для многомерных систем способ может быть применен в комбинации с другими способами, например, с синхронным детектированием.

Рассмотрим вкратце вторую задачу поиска — организацию движения к точке экстремума. В настоящее время известно значительное число методов для реализации этой задачи. Наиболее широко используются следующие методы: поочередного изменения переменных (метод Гаусса—Зайделя), градиента и наискорейшего спуска.

Метод Гаусса—Зайделя заключается в поочередном изменении переменных и определении частных экстремумов вида

при условии, что остальные переменные являются постоянными. Сначала устанавливается исходная (начальная) точка поиска. Затем все переменные фиксируются, а переменная варьируется до тех пор, пока не будет выполнено условие . В этой точке величина фиксируется и начинает изменяться переменная до обращения в нуль производной После нахождения точки, в которой снова начинает изменяться и весь цикл повторяется заново до тех пор, пока не будет найдена точка экстремума. Метод поочередного изменения переменных иллюстрируется на рис. 12.5 ломаной линией состоящей из взаимно перпендикулярных прямолинейных участков. На рисунке представлены сечения функции двух переменных

В методе градиента происходит одновременное изменение всех координат так, что изображающая точка движется по поверхности в направлении, близком к мгновенному направлению вектора градиента. Движение может осуществляться непрерывно или дискретно.

В случае непрерывного движения в простейшем случае используются следующие законы изменения переменных

где — коэффициент пропорциональности при поиске максимума и — при поиске минимума).

В лучае дискретного движения переменные после измерения радиента изменяются на следующие величины:

На рис., 12.5 траектория движения по методу градиента изображена кривой 2. Траектория нормальна к поверхностям равных значений Непрерывный процесс поиска по методу градиента является устойчивым, т. е. приводит систему к экстремуму при любой исходной точке поиска.

В соответствии с методом наискорейшего спуска, который является по существу обобщением метода поочередного изменения переменных и метода градиента, движение происходит в направлении вектора градиента до тех пор, пока не обратится в нуль частная производная функции I по этому направлению. Затем снова определяется градиент и движение происходит вдоль нового вектора градиента до обращения в нуль производной от I по этому направлению и т. д. до тех пор, пока не будет достигнута точка экстремума. На рис. 12.5 траектория метода наискорейшего спуска отмечена цифрой 3.

Рис. 12.5. Методы поиска экстремума

Градиентный метод и метод наискорейшего спуска обеспечивают быстрейшее достижение точки экстремума, причем в отношении быстродействия метод наискорейшего спуска предпочтительнее использовать при больших отклонениях изображающей точки от точки экстремума. При малых отклонениях с учетом требований, предъявляемых к точности, целесообразно применять метод градиента.

Во многих задачах характеристика является многоэкстремальной. Указанные выше методы в общем случае не обеспечивают нахождение глобального экстремума. Наиболее универсальным для многоэкстремальных характеристик является метод сканирования (слепого поиска или перебора). Но ввиду своей неэкономичности (по времени) для многомерных задач сканирование неприменимо. В настоящее время разрабатываются многочисленные алгоритмы и схемы случайного поиска, комбинации случайного поиска и поиска с измерением градиента и т. д.

На рис. 12.6 представлена одна из возможных классификаций экстремальных систем.

Экстремальные системы классифицируют по способам нахождения градиента и методам организации движения к точке экстремума.

Кроме того, при классификации рассматривают также такие признаки, как число показателей экстремума (одно- и многоэкстремальные), число регулирующих воздействий (с одним и несколькими регулирующими воздействиями), способ управления исполнительными элементами (с непрерывной и дискретной отработкой отклонения от точки экстремума), использование генератора внешних колебаний (автоколебательные и системы с внешним генератором поисковых колебаний) и т. д.

Рис. 12.6. Классификация экстремальных систем

В окрестности точки экстремума нелинейные характеристики объектов экстремального управления имеют вид параболы. Эти характеристики могут быть естественными или могут формироваться искусственно.

Пример 12.1. Рассмотрим систему экстремального регулирования давления после компрессора турбореактивного двигателя [27]. На рис. 12.7 изображена зависимость относительного давления после компрессора Р от расхода топлива при различных числах М (отношение скорости полета к скорости звука). Из рисунка видно, что давление Р имеет максимум по расходу топлива. Положение максимума меняется в зависимости от числа М.

Для регулирования давления может быть использована непрерывная одномерная система

Рис. 12.7. Экстремальные характеристики системы регулирования давления

экстремального регулирования с синхронным детектированием и гармоническим поисковый сигналом (рис. 12.8). Поисковые колебания вместе с рабочей составляющей вводятся на вход исполнительного устройства регулирующего подачу топлива в двигатель Д. Сигнал, пропорциональный давлению после компрессора, с датчика давления ДД подается через усилитель У и полосовой фильтр ПФ на синхронный детектор (множительное устройство) СД.

Рис. 12.8. Экстремальная система регулирования давления

На другой вход синхронного детектора поступает поисковая гармоническая составляющая Фильтр низких частот выделяет рабочую составляющую сигнала, которая подается на управляющее устройство