ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 3.1. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Для теоретического исследования систем регулирования и управления прежде всего следует составить уравнения, описывающие их работу. Этими уравнениями обычно являются дифференциальные уравнения того или иного вида. В настоящей главе ограничимся изучением только обыкновенных линейных систем, поведение которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Все реальные элементы автоматических систем в большей или меньшей степени нелинейны. Описание реальных элементов и систем линейными дифференциальными уравнениями возможно только в результате линеаризации нелинейных уравнений (см. § 2.2) и всегда достаточно приближенно. Однако во многих практически важных случаях точность, даваемая линейным описанием, вполне достаточна. Так как линейные уравнения появляются в результате линеаризации, то уравнения «линейных» элементов и систем всегда представляют собой уравнения, составленные в отклонениях от какого-либо исходного режима работы элемента или системы. Это обстоятельство следует иметь в виду при пользовании линейными уравнениями.

Чтобы получить дифференциальные уравнения, САР обычно разбивают на звенья и составляют дифференциальное уравнение для каждого звена в отдельности. Дифференциальные уравнения звеньев САР, рассматриваемые совместно, в совокупности образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую работу САР.

Разбивать САР на звенья можно различным образом. Желательно разбивать САР на типовые звенья направленного действия, уравнения которых известны (см. гл. 2). Часто в качестве динамических звеньев выбирают просто элементы САР. Далее, исключая промежуточные величины, систему дифференциальных уравнений звеньев «сворачивают» в одно уравнение высокого порядка, содержащее какую-либо одну величину и все внешние воздействия (задающее и возмущающие). Обычно дифференциальное уравнение САР составляют либо для регулируемой величины у (0» либо для ошибки

Рассмотрим САР скорости вращения двигателя (см. рис. 1.13). Чтобы составить уравнения этой системы, разобьем ее на четыре звена: сравнивающий элемент, усилитель, двигатель и тахогенератор (табл. 3.1.)

Таблица 3.1 (см. скан) Динамические звенья САР скорости вращения и их входные и выходные величины

В рассматриваемом случае сравнивающий элемент в явном виде отсутствует — он реализуется за счет встречного включения напряжений Если усилитель САР выполнен по сложной схеме (например, представляет собой сочетание полупроводникового, магнитного и электромашинного усилителей), его целесообразно в свою очередь разбить на несколько звеньев (здесь этот случай не рассматривается).

Учитывая возможные нелинейности в двигателе, тахогенераторе и усилителе, рассмотрим номинальный установившийся режим работы САР, в котором и составим уравнения звеньев в отклонениях от этого установившегося режима.

Уравнение сравнивающего элемента в отклонениях запишется так:

Для системы стабилизации скорости вращения т. е.

Уравнение усилителя зависит от его схемы. Будем считать для определенности, что усилитель достаточно точно описывается уравнением апериодического звена второго порядка:

где — постоянные времени усилителя (например, постоянные времени предварительного и оконечного каскадов усиления); — коэффициент усиления усилителя по напряжению.

Уравнение двигателя постоянного тока при учете момента нагрузки на валу двигателя имеет вид (см. стр. 140):

Здесь электромагнитная и электромеханическая постоянные времени двигателя, вычисленные с учетом параметров оконечного каскада усилителя; коэффициент передачи двигателя; крутизна механических характеристик двигателя.

Уравнение тахогенератора в отклонениях записывается следующим образом:

где — крутизна тахогенератора.

Уравнения (3.1)-(3.4) в совокупности образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую поведение САР скорости вращения как в установившихся, так и в неустановившихся режимах. Эта система содержит четыре уравнения и четыре неизвестные функции времени: Для решения полученной системы уравнений должны быть заданы внешние воздействия и (как функции времени) и начальные условия.

Характерно, что ни одно из уравнений (3.1)-(3.4) не может быть решено по отдельности — все они обязательно должны рассматриваться совместно. Это является математическим отображением того, что в САР все звенья взаимодействуют между собой, образуя в совокупности замкнутый контур передачи воздействий.

«Свернем» полученную систему дифференциальных уравнений в одно уравнение, содержащее регулируемую величину Свертывание удобно начинать с уравнения того звена, для которого интересующая нас величина является выходной. Таким звеном в данном случае будет двигатель с уравнением (3.3). Чтобы исключить из этого уравнения величину умножим обе части уравнения (3.3) на выражение и учтем уравнение (3.2). Тогда получим

Подставив сюда уравнения (3.1) и (3.4), окончательно будем иметь

Как видно, получено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Аналогично выполняется свертывание системы уравнений (3.1)-(3.4) относительно любой другой переменной. При этом легко могут быть получены следующие дифференциальные уравнения САР:

относительно напряжения на входе усилителя

относительно напряжения на якоре двигателя

относительно напряжения тахогенератора

Решение любого из уравнений (3.5) - (3.8) позволяет определить, как будет меняться соответствующая координата во времени при заданных внешних воздействиях и заданных начальных условиях.

При внимательном рассмотрении уравнений (3.5)-(3.8) нетрудно обнаружить, что в их левой части фигурирует один и тот же многочлен:

где

Многочлен после замены на комплексное число называется характеристическим полиномом замкнутой системы, а уравнение — характеристическим уравнением замкнутой системы.

Таким образом, относительно какой бы координаты не составлялось дифференциальное уравнение САР, в левой части уравнения всегда будет один и тот же символический многочлен а Изменяться будут лишь символические многочлены при внешних воздействиях в правой части уравнения.

При работе рассматриваемой САР в режиме стабилизации скорости и уравнения (3.5)-(3.8) упрощаются, так как первые члены в правых частях обращаются в нуль. Например, уравнение (3.5) в этом случае принимает следующий вид:

Уравнения установившихся режимов работы САР получаются из Уравнений (3.5)-(3.8) в качестве частного случая. Например, чтобы определить уравнения установившегося режима при постоянных внешних воздействиях, следует положить в этих уравнениях так как в этом режиме все переменные, характеризующие работу САР,

постоянны и производные от них обращаются в нуль. В частности, положив в уравнении (3.10), получим

Рассмотрим кратко уравнения следящей системы (см. рис. 1.17, а). Ее целесообразно разбить на три звена: датчик рассогласования, усилитель и двигатель с редуктором.

Датчик рассогласования описывается уравнением

где — выходное напряжение датчика рассогласования; — крутизна датчика рассогласования и

— ошибка следящей системы.

Уравнение усилителя примем в виде

где — постоянная времени и коэффициент усиления усилителя; — напряжение на якорной обмотке двигателя.

Уравнение двигателя вместе с редуктором в первом приближении может быть записано так:

Здесь — постоянная времени и коэффициент передачи двигателя; — крутизна линеаризованных механических характеристик двигателя; — коэффициент передачи редуктора; М — момент нагрузки на исполнительной оси следящей системы.

Уравнения (3.11)-(3.14) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающую поведение следящей системы в установившихся и переходных режимах. Выполнив «свертывание» этой системы относительно координат нетрудно получить следующие уравнения:

В этих уравнениях Как видно из (3.15)-(3.18), при тех допущениях, при которых справедливы уравнения (3.13) и (3.14), следящая система (см. рис. 1.17, а) описывается дифференциальным

уравнением третьего порядка. Характеристический полином этой системы

где

Положив в уравнении получим уравнение свидетельствующее об астатизме следящей системы относительно задающего воздействия При уравнение (3.16) приводится к виду

Это выражение определяет так называемую моментную ошибку следящей системы и свидетельствует о том, что относительно момента нагрузки на исполнительной оси рассматриваемая следящая система является статической.