§ 9.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Постановка задачи исследования точности нелинейных систем, находящихся под действием случайных воздействий, не отличается по форме от постановки задачи исследования точности линейных стационарных систем (см. § 9.2). Пусть САУ, функционирующая в промежутке времени , описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

Здесь — заданные функции времени, фазовых координат и возмущений; — фазовые координаты системы; — случайные возмущения с заданными статистическими характеристиками.

Как и ранее, в рамках корреляционной теории для определения точности работы САУ будем использовать два первых момента фазовых координат системы.

Методы статистического анализа точности нелинейных САУ чаще всего связывают с приближенными методами вычислений, основанными на методах математической статистики. Применение аппарата математической статистики в задачах статистического анализа нелинейных систем основано на анализе случайных выборок. Элементами этих выборок будем рассматривать возможные исходы эксперимента, произведенного при данной реализации случайных воздействий. Применительно к задаче анализа под экспериментом будем понимать интегрирование дифференциальных уравнений (9.50) при заданных реализациях случайных воздействий.

Предположим, что построена выборка из реализаций случайных воздействий

и путем интегрирования уравнений (9.50) с использованием аналоговых, цифровых или комбинированных (цифро-аналоговых) вычислительных машин для каждой из реализаций (9.51) получены решения Это позволит сформировать выборку решений дифференциальных уравнений (9.50) в виде

Так как выборка (9.51) является случайной, то и выборка (9.52) является случайной. Из элементов (9.52) для заданного момента

времени скомпонуем выборку, например, для координаты

и рассмотрим некоторые статистики выборки (9.53):

выборочное среднее значение

выборочную дисперсию

Если законы распределения элементов выборки (9.53) одинаковы, а сами элементы выборки являются независимыми случайными величинами (эти допущения в данном случае выполняются), то можно записать известные в математической статистике соотношения:

где — математическое ожидание и с.к.о. случайной величины соответственно.

Аналогичные формулы можно записать для выборочной дисперсии:

Формулы (9.56) и (9.58) означают, что выборочное среднее и выборочная дисперсия являются несмещенными оценками для математического ожидания и дисперсии случайной величины с математическим ожиданием дисперсией и четвертым центральным моментом Если случайная величина распределена по нормальному закону, то и формулы (9.59) и (9.60) примут вид

Дисперсию выборочного среднего и выборочную дисперсию можно вычислить по формулам (9.57) и (9.60).

Эти выражения можно использовать для нахождении объема вы. борки (9.52), необходимой для вычисления рассматриваемых характе! ристик с заданной точностью. В связи с тем, что точные числовые значения не определены заранее, в формулы для дисперсий первых двух статистик выборки необходимо подставить числовые значения этих статистик. Тогда при нормальном распределении элементов выборки (9.53)

Процесс статистического анализа, использующий в своей основе теорию выборочного метода математической статистики и предполагающей построение выборки (9.52), называют методом статистических испытаний. Этот метод часто используют в задачах статистического анализа точности нелинейных систем.

Используя выборку (9.52), можно вычислить оценки математических ожиданий, дисперсий и корреляционных функций фазовых координат системы

Метод статистических испытаний может быть с успехом применен и для анализа нелинейных систем, в которых возмущения представляют собой случайные величины:

В этом случае уравнения (9.50) примут вид

Построив выборку случайных величин

и проинтегрировав уравнения (9.65) для каждого из ее элементов, получим выборку решений уравнения (9.65) вида (9.52). Статистические характеристики решений в рассматриваемом случае вычисляются, как и ранее, по формулам (9.64).

Если возмущения представляют собой случайные функции, то использование канонических или неканонических разложений для их моделирования позволяет свести задачу анализа нелинейной системы уравнений (9.50) к задаче анализа системы нелинейных дифференциальных уравнений (9.65), что в практических случаях часто упрощает рассматриваемую задачу.

Выборки случайных воздействий (9.51) и (9.66) должны иметь статистические характеристики, близкие к статистическим

характеристикам самих возмущений. Это является непременным условием Применения метода статистических испытаний к задачам анализа нелинейных систем уравнений. Построение выборки случайных величин (9.66) является в значительной мере более простой задачей, чем построение выборки случайных функций (9.51). Этим объясняется широкое применение методов канонических и неканонических представлений случайных возмущений в задачах статистического анализа описанных нелинейными дифференциальными уравнениями (9.50).

Говоря о применении метода статистических испытаний в задачах статистического анализа нелинейных систем, следует рассматривать вопрос о сходимости вычисляемых статистик к реальным статистическим характеристикам и точности определения выборочных средних и выборочной ковариационной матрицы. В табл. 9.4 приведены значения числа элементов выборки (9.66) в функции числа характеризующего диапазон погрешности вычисления математического ожидания величины

при заданной вероятности выполнения неравенства

Таблица 9.4

Число элементов выборки

При этом число получено из неравенства Чебышева, а число — с использованием предельной теоремы Ляпунова [67]. Неравенство Чебышева

дает весьма грубую оценку величины Оценка, полученная с использованием предельной теоремы Ляпунова

Дает более точную оценку погрешности

В табл. 9.5 приведены числовые значения объема выборки (9.51) Для нормального распределения ее элементов, рассчитанные с

использованием соотношений

и формул (9.57), (9.62).

Таблица 9.5. Объем выборки

Приведенные в табл. 9.4 и 9.5 числовые значения позволяют ориентировочно определить необходимое число интегрирований нелинейных дифференциальных уравнений для получения статистических характеристик их решений с заданной точностью.

В процессе анализа нелинейных систем методом статистически испытаний можно найти и закон распределения плотности вероятностей выходных координат САУ или центральные моменты выше второго, третьего, четвертого порядков и т. д. Знание моментов третьей и четвертой степени позволяет сделать оценку близости закона распределения выходных координат к нормальному распределению плотности вероятностей. Если окажется, что

то можно предполагать нормальность распределения выходной координаты.

Для вычисления статистических характеристик решений системы дифференциальных уравнений (9.65) можно применять и ряд других методов, например, методы Б. Г. Доступова [22], В. И. Чернецкого [67] и др. Эти методы основаны на априорном задании структуры функций статистические характеристики которых определяются. Рассмотрим метод Б. Г. Доступова, позволяющий найти математическое ожидание и дисперсию функции рассеивание которой определяется одной случайной величиной V с заданным законом распределения плотности вероятностей [22].

Представим функцию рядом Маклорена по переменной К. При этом будем предполагать, что членом порядка в этом разложении можно пренебречь. Тогда получим

где значение функции — значение частной производной функции , вычисленной при

Пусть для некоторых реализаций случайной величины

вычислены числовые значения функции

Тогда для реализации случайной величины V из (9.68) можно записать выражение (9.67) в виде

Умножив правую и левую части выражения (9.70) на постоянный коэффициент а; и определив сумму по от правой и левой частей равенства (9.70), получим

Определив математическое ожидание от правой и левой частей равенства (9.67), найдем

Из сравнения выражений (9.71) и (9.72) видно, что при выполнении условий

Математическое ожидание функции

Условия (9.73) являются условиями для выбора весовых коэффициентов и реализаций (9.68) случайной величины V.

По аналогии в методе Б. Г. Доступова вычисляются высшие моменты решений :

При произвольном систему уравнений (9.73) разрешить не удается. Поэтому рассмотрим ее решения при фиксированном При

Если случайная величина является центрированной с симметричным законом распределения плотности вероятностей, то

При этом, очевидно, реализации случайной величины должны быть симметричными относительно математического ожидания случайной величины. Кроме того, пусть весовые коэффициенты равны между собой. Тогда решение рассматриваемой системы можно получить при в виде

При решение получается только в случае задания одной из реализаций. Например, при получим

Обычно при использовании метода Доступова принимается минимальное число реализаций, поэтому полученный при результат можно считать решением рассматриваемой задачи.

Аналогично решается задача статистического анализа нелинейных систем при действии на систему большого числа случайных величин Предположим, что последние некоррелированы. Тогда решение нелинейных уравнений (9.65) будет определяться всей совокупностью случайных факторов:

Построим, как и ранее, ряд Маклорена для функции (9.76)

где

Индекс «0» у частных производных по-прежнему означает, что они вычисляются в точке Переходя в выражении (9.77)

от случайных величин к их математическим ожиданиям, получим

Как и ранее, сформируем выборку реализаций случайных величин

и подставим их в соотношение (9.77). При этом

Суммируя правую и левую части выражения (9.80) по индексу I с весовыми коэффициентами получаем

Если

то из равенства выражений (9.78) и (9.81) получим

Решение системы уравнений (9.82) позволяет построить выборку (9.79) и найти весовые коэффициенты при фиксированном Рассмотрим предложенные Б. Г. Доступовым решения системы (9.82) при Пусть выборка (9.79) при задана табл. 9.6.

(кликните для просмотра скана)

Суммируя все уравнений (9.85) и принимая во внимание уравнение (9.84), получаем

откуда

Из системы уравнений (9.88) и (9.86) определяем

Тогда на основании уравнений (9.85) и соотношений (9.89) находим

Для нормального закона распределения случайных величин из уравнения (9.87) с учетом (9.89) и (9.90) получаем

Итак, характеристики выборки (9.79) и весовые коэффициенты определены.

Найдем теперь математическое ожидание и дисперсию функции

где — число случайных факторов.

Формулы (9.92), (9.93) позволяют вычислить математическое ожидание, дисперсию и второй начальный момент решений нелинейных уравнений.

В рассмотренной схеме метода Доступова 122] выражение (9.91) определяет величину реализации случайной величины. При реализация случайной величины (для нормального закона распределения) будет находиться вне диапазона реального изменения случайной величины. Этого можно избежать, если в схему планирования Доступова, приведенную в табл. 9.6, ввести строку, содержащую

нулевое значение реализаций случайных величин. Тогда система уравнений (9.82) примет вид

Одно из решений системы уравнений (9.94) запишется так:

При этом формулы (9.92) и (9.93) принимают вид

Формулы (9.95) можно использовать при произвольной размерности вектора случайных величин V.