§ 10.5. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Функции чувствительности позволяют оценить влияние отклонений параметров объекта и регулятора на качество работы САУ. Для этой цели может использоваться выражение (10.15), из которого следует, что дополнительное движение

В детерминированной постановке соотношение (10.44) позволяет вычислить в каждый момент времени фактическое значение дополнительного движения при известных вариациях параметров Если отсутствуют сведения о знаках вариаций , то целесообразно оценить максимально возможное значение дополнительного движения

В статистическом плане, используя зависимость (10.44), можно получить выражение для вероятностных характеристик дополнительного движения. В частности, для дисперсии дополнительного движения при отсутствии корреляции между случайными параметрами получим

где — дисперсия случайной величины .

В случае нормального распределения вариаций можно определить вероятность того, что переменная в момент времени находится в допустимых пределах

где интеграл вероятности вида

Соотношения, аналогичные (10.44) — (10.47), могут быть получены и для частотных характеристик, а также для числовых оценок качества САУ.

При синтезе САУ функции чувствительности используются двояко.

Во-первых, при синтезе оптимальных систем численными методами функции чувствительности являются составляющими градиента функционала оптимизации. Применение способов получения функций чувствительности, разработанных в теории чувствительности, существенно повышает эффективность методов оптимизации (см. гл. 11).

Рис. 10.2. Типовые структуры САУ

Во-вторых, функции чувствительности используются для оценки нечувствительности (грубости или параметрической инвариантности) проектируемых систем. При этом можно ставить задачу синтеза так, чтобы система была полностью или частично нечувствительной к неконтролируемым вариациям параметров системы в определенных пределах.

Известно, что требования, предъявляемые к качеству системы, могут быть обеспечены при различных структурах системы. Каждая структура обеспечивает различную чувствительность выбранного критерия качества к изменениям параметров объекта, являющегося обычно наименее стабильным звеном системы. Поэтому необходимо выбирать такую физически реализуемую структуру, которая обеспечивала бы как заданные динамические свойства, так и минимально возможную или требуемую чувствительность.

Проиллюстрируем приведенное утверждение на примере сравнения функций чувствительности системы с заданной передаточной функцией реализованной с помощью трех структурных схем: с последовательным корректирующим звеном (рис. 10.2, а), с параллельной связью (рис. 10.2, б) и с дополнительной обратной связью (рис. 10.2, в).

Для этих структур передаточные функции и функции чувствительности имеют следующий вид:

Для сравнения чувствительности рассматриваемых структурных схем можно использовать выражения, получающиеся из соотношений

Требования уменьшения чувствительности могут быть учтены при синтезе, если в системе имеются избыточные элементы. Об избыточных элементах можно говорить тогда, когда система условий или уравнений, которые используются для решения задачи синтеза, является переопределенной (число неизвестных превышает число уравнений). Обычно параметрами избыточных элементов приходится задаваться, иногда даже совершенно произвольно. Этой неопределенности можно избежать, если имеющуюся избыточность использовать для удовлетворения требованиям нечувствительности.

Рассмотрим, например, задачу выбора корректирующих устройств с передаточными функциями для системы, структурная схема которой изображена на рис. 10.2, г, по заданной (желаемой) передаточной функции замкнутой системы.

Для данной системы

Для определения двух неизвестных имеем одно уравнение (10.52). Чтобы однозначно выбрать передаточные функции корректирующих устройств, необходимо иметь еще одно уравнение. В качестве такого уравнения можно использовать соотношение, связывающее желаемую чувствительность с характеристиками системы:

Решая уравнения (10.52) и (10.53), получаем

Выше был рассмотрен случай, когда в процессе синтеза определялся вид передаточных функций корректирующих устройств. Оказывается, что избыточность имеет место и при выборе параметров корректирующих звеньев с заданной передаточной функцией. При этом возможны два варианта. В первом — задается вид передаточной функции и необходимо так выбрать ее коэффициенты, чтобы удовлетворить определенным динамическим требованиям. Во втором — задается вид передаточной функции и известны ее коэффициенты, требуется реализовать эту передаточную функцию.

1. Пусть — показатель качества, зависящий от параметров объекта параметров регулятора Передаточная функция регулятора задана. Требуется параметры регулятора выбрать такими, чтобы при изменении параметров объекта в определенных пределах т. е. при

величина показателя качества I находилась в заданных пределах, в частности, оставалась равной заданной величине

Представим показатель качества в виде

где откуда в силу независимости вариаций :

Соотношения (10.55) представляют собой в общем случае нелинейное алгебраическое уравнение относительно искомых параметров регулятора. Для существования решений системы (10.75) необходимо, чтобы

Это означает, что регулятор должен иметь не менее настраиваемого параметра.

Пример 10.3. Рассмотрим задачу выбора параметров корректирующего устройства системы регулирования скорости вращения электродвигателя, структурная схема которой представлена на рис. 3.2, а.

При пренебрежении постоянной времени и наименьшей из постоянных времени усилителя (например, передаточная функция

При показатель колебательности

[33], где

Допустим, что неконтролируемым параметром является коэффициент За счет вариаций этого параметра показатель колебательности получает приращение

где

В соответствии с изложенной выше методикой найдем такие значения настраиваемых параметров чтобы обеспечить, во-первых, заданное значение показателя колебательности в диапазоне , во-вторых, выполнение условия

Найдем вначале выражение для Для этого определим функцию чувствительности

Из условия (10.57) с учетом (10.58) получаем

Таким образом, для определения имеем уравнения (10.56) и (10.59). Уравнение (10.56) запишем в виде

Нетрудно показать, что уравнения (10.59) и (10.60) совместны только при [для этого достаточно подставить выражение для из уравнения (10.59) в (10.60)]. Поэтому для выбора параметров может быть использовано любое из уравнений (10.59) и (10.60).

Воспользуемся, например, уравнением (10.59). Преобразуем его к виду

Это уравнение в плоскости параметров определяет некоторую кривую второго порядка, каждой точке которой в I квадранте соответствуют допустимые значения искомых параметров

Можно показать, что при рассматриваемая система является нечувствительной (грубой) и к вариациям параметра Действительно, равенство

приводит к уравнению (10.59), что, как уже было показано, соответствует условию грубости при

Пример 10.4. Рассмотрим задачу выбора параметров последователь-лого корректирующего устройства с передаточной функцией

для стабилизации объекта с передаточной функцией

Задача стабилизации заключается в обеспечении заданного запаса устойчивости по фазе

Пусть имеется неконтролируемая вариация постоянной времени объекта т. Тогда вариация запаса устойчивости по фазе

Для частоты среза имеем [33]

откуда

Из условия получаем

Из уравнений (10.61) и (10.63) при заданном могут быть определены параметры озср и после чего на основании (10.62) вычислены значения

Рис. 10.3. Электрическая схема корректирующей цепи

2. Рассмотрим выбор параметров корректирующих цепей по заданной передаточной функции. Обычно (см. гл. 6) передаточные функции корректирующих устройств синтезируются исходя из требований, предъявляемых к устойчивости и качеству процесса регулирования. Техническая реализация полученной в процессе синтеза передаточной функции корректирующего устройства является неоднозначной даже в том случае, когда по виду передаточной функции выбрана конкретная схема устройства. Последнее объясняется тем, что в системе уравнений, связывающих неизвестные параметры схемы корректирующего устройства с заданными коэффициентами передаточной функции, число неизвестных часто превышает число уравнений. Неоднозначность можно устранить заданием дополнительных требований к чувствительности динамических характеристик корректирующего устройства.

Пример 10.5. Рассмотрим расчет параметров дифференцирующей цепочки (рис. 10.3) с передаточной функцией

где

Пусть величины и заданы из условия сопряжения с предыдущие и последующим каскадами. Тогда задача сводится к определению величин и С по заданным значениям и Т. Имеется одна лишняя степень свободы. Используем ее для ограничения чувствительности, например, фазовой характеристики дифференцирующего контура на определенной частоте.

Для упрощения вычислений рассмотрим только чувствительность фазовой характеристики по отношению к малым вариациям емкости С. Соответствующая функция чувствительности

где

Пусть параметры дифференцирующей цепи необходимо выбрать такими, чтобы на частоте значение функции чувствительности было равно Тогда для определения значений и С получаем следующую алгебраическую систему:

Решая эту систему при заданных можно определить значения .