ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИВОЙ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

§ 4.1. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Основным режимом работы любой системы автоматического управления является динамический режим, которому при анализе и синтезе САУ уделяется главное внимание (см. § 1.14).

Для описания поведения систем автоматического управления часто используются дифференциальные уравнения. Реальные САУ являются обычно нестационарными и нелинейными системами, однако для облегчения задач анализа большой класс подобных систем может в первом приближении рассматриваться как стационарный и линейный (см. § 2.2). В этом случае поведение САУ можно описывать линейными дифференциальными и интегральными уравнениями с постоянными коэффициентами (см. гл. 3).

Решение линейных дифференциальных уравнений дает полную картину поведения системы для заданных начальных условий, иными словами, это решение определяет как статический, так и динамический процессы. Поэтому важно ознакомиться с основными методами решения линейных дифференциальных уравнений.

В настоящее время разработано большое число методов решения уравнений динамики САУ, как аналитических, так и графо-аналитических. Из них наибольшее практическое распространение получили следующие: классический метод; операционные методы, использующие преобразования Лапласа, Лапласа — Карсона и Фурье, и методы, основанные на применении аналоговых и цифровых вычислительных машин.

Каждый из перечисленных методов обладает известными достоинствами и недостатками, ограничивающими область его практической, применимости.

Уравнения динамики САУ представляют собой уравнения равновесия моментов либо сил, причем в правой части уравнений стоят члены, характеризующие возмущающие и задающие воздействия, приложенные к системе, а в левой — члены, характеризующие реакцию системы на эти возмущения.

В реальных системах внешние воздействия являются обычно непрерывными однозначными функциями времени, часто носящими случайный характер.

Для упрощения анализа реальные внешние воздействия заменяются более простыми функциями, точно так же как реальные элементы

системы заменяются идеализированными элементами с линейными характеристиками. Функции, применяемые взамен реальных внешних воздействий, называются типовыми воздействиями (см. § 1.14) и относятся к классу так называемых «функций с ограниченной вариацией».

Если приложенное к реальной САУ воздействие представляет собой более сложную функцию времени, чем перечисленные в § 1.14, то часто удается заменить ее суммой указанных типовых функций и воспользоваться принципом наложения.

Если приложеннное к реальной САУ воздействие представляет собой не детерминированную (определенную), а случайную функцию времени, то поведение систему исследуется при помощи особого математического аппарата (см. гл. 9).

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (3.57), описывающее движение линеаризованной САУ. Запишем его в общем виде для регулируемой величины при наличии задающего воздействия и возмущающих воздействий

В некоторых случаях бывает удобно определять не кривую а ошибку При этом левая часть уравнения (4.1) полностью сохраняет свой вид, правая же будет другой [см. (3.58)].

Для определения как так и необходимо решать уравнения движения системы.

Остановимся вначале кратко на методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений можно получить либо разделением переменных с последующим интегрированием уравнения, либо суммированием двух решений — частного и общего. Второй метод решения для уравнений типа (4.1) более удобен. При использовании его предполагается, что решение состоит из двух слагаемых, причем первое слагаемое определяется общим решением уравнения (4.1) без правой части и называется переходной составляющей второе слагаемое определяется частным решением уравнения (4.1) с правой частью и называется вынужденной, или установившейся, составляющей

Общее решение однородного уравнения ищется в виде

Дифференцируя выражение (4.3) столько раз, каков порядок Дифференциального уравнения а и подставляя в это

уравнение величину и ее производные, после сокращения на общий множитель получаем

Алгебраическое уравнение (4.4) называется характеристическим. Его корни определяют характер переходного процесса в системе. Число корней равно степени алгебраического уравнения.

Переходная составляющая при отсутствии кратных корней может быть записана в виде

где — произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий процесса:

Начальные условия накладываются на основании физических соображений или находятся из уравнения (4.1).

Дифференцируя уравнение (4.5) пов ремени раз и используя начальные условия, получают алгебраических уравнений с неизвестными постоянными интегрирования Решение этой системы уравнений позволяет определить искомые постоянные интегрирования.

Общее решение соответствует отсутствию внешних воздействий. При этом система совершает свободное движение. Начальное ее положение определяется заданными начальными условиями.

Частное решение или установившаяся составляющая ищется обычно для Оно определяется правой частью уравнения (4.1) и соответствует некоторому статическому режиму, имеющему место в системе после затухания переходной составляющей

Если к САУ приложено несколько внешних воздействий, то установившаяся составляющая состоит из суммы слагаемых по числу членов правой части уравнения (4.1). Каждое слагаемое составляющей находится для каждого задающего или возмущающего воздействий независимо от других. Так, для определения составляющей на основании выражения (4.1) можно записать

Полное решение (4.2) описывает процесс регулирования или управления в САУ.